Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
\|ае ре
Так как, кроме того,
то
|«2+P* Т|
= |Рв-+5|«/(^±|).
Итак, мы доказали, что я/ш Х = (/, 0) представление Т (g) реализуется в пространстве 3) бесконечно дифференцируемых функций на окружности и задается формулой
(3)
298 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2) [ГЛ. VI
Точно так же доказывается, что при у = (/, 'Д) операторы Т{ (g) задаются формулой
Tt{g)f{e*) = | ре* + а|®е1« + • (4)
Формулы (3) и (4) можно заменить единой формулой:
Тг Ш{е*) = (^‘'9 + «У+Е Ф<гп + • (5)
3. Инфинитезимальные операторы. Вычислим инфинитезимальный оператор А\ представления Tx{g), соответствующий однопараметрической подгруппе 2i матриц вида
/chy sh у
"l(0 = ь ' ь ' (1)
\sh Т ch Т,
Этим матрицам соответствуют операторы Тг (ш1 (<))/(*“)= (sh|- е1в + ch|]'+'(sh|<H° + ch X
^chy el6^~ shy
Поэтому
dTx К (0)
X/ -—f—---------г . (2)
Vhf^ + chl1
^0 = т[(/+е)ег9 + (/-е)е"г9-2 sin0|]- С3)
Al~ dt Точно так же подгруппе 2а матриц вида
chy i sh у\
,-'shT chY!
соответствует инфинитезимальный оператор
Л2=-Ц(/+е)ег9 —(/—е)<Гг9 + 2icos0^]. (5)
§ 2| НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 299
Подгруппе же 23 диагональных матриц
/л о ,
_« I (в)
\о г 2
Ш3 (0--------
соответствует инфинитезимальный оператор
? d%
Вместо операторов Av А2, А3 удобнее пользоваться их линейными комбинациями Н+, Н_, Н3:
Щ = -Аг-1Аг, (8)
Н_ = — Аг -)- iA<i, (8f)
H3 = iA3. (8")
Из формул (3), (5) и (7) вытекает, что
Н+ = 1е~Л , (9)
(9')
H3 = z + i^. (9")
В пространстве 3) существует базис {е~,м}, состоящий из собственных функций оператора Н3.
Н3 е~м = (е + k) е^м. (10)
Выясним, как действуют на функции этого базиса операторы Н+ и
Н_. В силу (9) и (9') имеем
Н+е~м = (к — /_|_ е) (*+1) ® (11)
и
Hjrm= 1)9_ (12)
Таким образом, оператор Н+ переводит функцию е~1к6, соответствующую собственному значению е -|- k оператора Н3, в функцию, для которой собственное значение на единицу больше. Точно так же применение оператора уменьшает на единицу собственное значение.
4. Неприводимость. Докажем, что построенные в п. 2 представления Tx(g), Х = (^> е) группы QU(2), вообще говоря, неприводимы. Исключение составляют значения Х = (^> ®)> для которых 21—целое
300
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QC/ (S)
[Гл. VI
число, имеющее ту же четность, что и 2е. В этом случае / —(— ей/ — е — целые числа. Такие значения у мы будем называть целочисленными. Итак, покажем, что при нецелочисленных значениях у представление Тх (g) неприводимо.
С^зим сначала представление Tx(g) на подгруппу 23, состоящую
подгруппы 23. Это представление эквивалентно регулярному представлению группы «SO (2), изоморфной подгруппе 23. Поэтому оно разлагается в прямую сумму одномерных представлений, которые реализуются в подпространствах функций вида cke~lk<>.
Поэтому (см. п. 3, § 3 гл. I) любое инвариантное подпространство Ж в J) распадается в прямую сумму некоторых из подпространств и, следовательно, либо является нулевым, либо содержит одну из функций е~,/г0. Но в силу инвариантности Ж оно содержит вместе с любой функцией е~,к6 и все функции H™e~M, Н™е~м. Формулы (11) и (12) п. 3 показывают, что
Очевидно, что если / = (/, е) не является целочисленным, то akm и не обращаются в нуль. Поэтому % содержит все функции e~ini и, следовательно, совпадает с 3). Тем самым неприводимость Tx(g) доказана.
5. Целочисленные представления. Рассмотрим теперь случай, когда у = {1, е) целочисленно, т. е. случай, когда /-)-е и I — _е — целые числа. Покажем, что в этом случае представление Тх (g) приводимо.
Если и /—е — целые числа, то функции е‘(г+?)9 и
однозначно определены. Обозначим через 3)/ подпространство в 3),
из диагональных матриц вида
