Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Из формулы (1) вытекает, что
4 со со
Fj(R, Ф)= Ц S г dr $ Л (Г, ср)Л(*-^ср, (2)
k — I 0 — оо
где
аи (а) = — «13 (а) = — (*) = (а) =
= — a3i (*) = а33 (а) = а42 (а) = — аи (а) = ch а
И
— а12 (я) = ан (а) = ап (а) = — аи (а) = а39 (а) =
' = — аП (а) = — % (а) = а4з (а) = sh а.
§6] РАЗЛОЖЕНИЕ КВАЗИРЕГУЛЯРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МН (2) 285
Точно так же из формулы обращения для преобразования Фурье
f §F0,)e-'IX,yldy (3)
следует, что
4 оо оо
Л(г. \rdr S FJ(R’ We-iRraJ^~v)d4. (4)
j= I 0 — oo
Мы видели в п. 1 § 3, что каждому значению R и индексу j соответствует неприводимое представление группы МН(2), реализуемое в пространстве функций Fj(R, ф) (при заданном R). При этом, чтобы получить операторы представления в виде интегральных операторов, надо перейти от функций Fj(R, ф) к их преобразованиям Фурье по ф.
СО
Фj(R, А)= ^ Fj(R, ф)eaU<b. (5)
— 00
Выразим функции Фj(R, X) непосредственно через функцию f(x). Для этого подставим в формулу (5) выражение (2) для Fj(R, ф) и изменим порядок интегрирования. Мы получим, используя результаты п. 4 § 3,
4 оо оо
Ф j(R, Х) = ^ S г dr $ /* (г, с?)eil-Ajk{Rr, l)db (6)
k= 10 —оо
где
Xic
Ап (р, X) = Аи (р, X) = Л33 (р, X) = Аш (р, X) = v:ie 2 НЧ'а (р), (7')
Alt
Л3(р, X) = (р, X) = Ап (р, X) = л44 (Р, = Р), (7")
Хте
^н(р> —— (р, Х) = Л32(р, X)v443 (р, Х) = 2е 2 р)> (7 )
Хтс
Аы(р, Х)=Лм(р, X) = Л34(р, X) = Л41 (р, 1)=2е2 Ка(р). (7IV)
Выражение fk{r, <р) через Ф^,(/?, X) получается точно так же с помощью формулы обращения (3) и формулы обращения
00
Fj{R, Ф)=-^- 5 фу№ (8)
со
286 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА 1ГЛ. V
для преобразования Фурье (5). В результате получим
4 оо оо
fk(r, ?)= ^ 2 \ RdR § фу(Я> l)en*AkJ(Rr, A)dl, (9)
/=: 10 — OO
где Akj(p, X) задаются формулами (7') — (7<IV)).
Мы получили, таким образом, взаимно обратные интегральные преобразования (6) и (9), связывающие функции fk(r, ср), с функциями Фj(R, X), ls?:ys?;4. Из этих преобразований легко получить преобразования для функций одного переменного. Именно, введем функцию
СО
РЛг, Х)= $ л (г, ?)<?'* (10)
- 00
— преобразование Фурье для fk (г, ср) по ср. Из формулы (6) вытекает
4 оо
Фу (R, *) = 2 $ AJk (Rr, X) Pk (г, X) г dr, (11)
* = i о
1 =??/'=?? 4.
С другой стороны, если рассматривать формулу (9) как формулу обратного преобразования Фурье, по X, то
4 оо
Pk (г, X) ¦= Щг 2 \ А» (Rr’ Х) ф/ № Х) « о:2)
/=10
1 k 4.
Мы доказали, таким образом, что если
4 со
ф/ (Я) = Е S (Я *) pk (О г dr, (13)
*=i о
где — со X со, 1 4, то
4 со
р* (г)=»¦ 2 S (/?г> Х) ф/ (/?) ^ d/?. (l 4)
/=10
где l=s?&=s?4. При P1(r) = P%(r) = P3(r) = Pl(r) = Р(г) получаем Ф, (R) = Ф2 (R) = Ф;, (/?) = Ф* (R) = Ф (/?).
В этом случае из формул (13) и (14) вытекает, что если
СО
Ф(Я) = $Л(Яг, X)/>(r)rfr, (15)
§ 6] РАЗЛОЖЕНИЕ КВАЗИРЕГУЛЯРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МН (2) 287
то
1 “
P(r) = -^\A(Rr,X)<S>(R)RdR, (16)
где
Л (Р, X) = (Р) - Щ' (Р)] + 4chX| Ка (Р). (17)
Используя результаты п. 4 § 3, легко показать, что ядро А (р, X) можно представить в следующем виде:
