Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
равенство
В частности, при п = — 1 получаем 1 ^ ? 0. Так как е=0 или
у, то l-\- 1 — е^/-|-е. Поэтому из неравенства (7) вытекает, что
/ —(— 1 — е^>0, / —|— е0. Отсюда получаем е = 0 и —1<^/<^0. Итак, если % = (/,е), где I — вещественное число, то представление Tx(g) унитарно тогда и только тогда, когда е = 0 и —1<^/<^0. Соответствующие представления Т{ (g) называются унитарными представлениями дополнительной серии.
Наконец, унитарные представления группы QU(2) возникают в целочисленном случае, т. е. в случае, когда / —|— е и I—е — целые числа. Пусть I—е<^0. В этом случае в пространстве 3) есть два непересекающиеся инвариантные подпространства 3)t и (см. п. 5). Инвариантная эрмитова форма в пространстве 3)t имеет вид
«?(/„/,) = 2 ‘¦А. (8)
п -'—00
а в пространстве 3)Г — вид
СО
ЯГ(Л.Л)= 2 (9)
П = — I — ?
Эти формы положительно определены. Отсюда вытекает, что при Целочисленном ^ = (/, е), I—е<^0, представления Tf(g) и 77(g) унитарны. Унитарны и эквивалентные им представления T—i~\ и
306 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2) [ГЛ. VI
действующие соотЕетственно в фактор-пространствах 3)+/- i/3)-/-i и 35-/_i/35-/_i, где 3)-г-i = 351/_i f] 35-/-1. Для этих представлений инвариантные скалярные произведения задаются равенствами
я1г_,(/1>/2)= 2 аА (ю)
л— —со
и
00
2 rr(t-l+o') °-7’- <")
n~l— S-f- 1
Формы (8) и (9) также можно предстапить к интегральном виде Именно:
т{и &=—¦г(_2/_1г 'S s (1—kiara,"a (12)
|г|<1
где z = x-\-iy. Аналогично выражается форма (9).
Заметим еще, что группа Q(J(‘2) не имеет конечномерных унитарных неприводимых представлений (за исключением единичного представления). Если ^ = (/, е) — целочисленно и I—е<^0, то инвариантная эрмитова форма для конечномерного представления Tx(g) задается равенством
-1-И-1
Hi (/l, fi) = 2 Г (я — / + !)Г(— Я — / — е)а"*л-
п — I—е -f~l
Очевидно, что эта форма не является положительно определенной.
8. Унитарно-сопряженные представления. Назовем представления T(g) и Q (g) унитарно-сопряженными относительно некоторой эрмитовой формы H(fi, /2), если
Н(T(g)fu А) = Н{А, Q(1) Мы покажем сейчас, что представления 7\(g)> X=(4S) и 7'_-fe),
— Х=(—I—е) унитарно-сопряжены относительно эрмитовой формы
СО
(/i,/2)= s a"~b* w
п= —00
В самом деле, имеет место равенство
(A,A)=(fu eih0A),
где
00
СА» f%)-- ^ j
п = — оо
§ 3] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ T^(g) 307
Но в п. 5 было показано, что
<T1(g)fuh) = (A or1)Л),
где —X —(—I— Ь е)- Поэтому
(ТгШи Л) = (Л. е^й) = (Л, т_-(g-')A).
Тем самым доказано, что представления Т (g) и T_j(g) унитарно сопряжены относительно эрмитовой формы (fu /2). В частности, если
Х=(—2—I- Ф’ ®)> т0 —X = Z> и мы получаем ранее доказанное утверждение об инвариантности формы (fu /2) относительно представлений Tt(g), х = (—y ~Мр> е):
(7 , О?) Л, Т., (g) Л) = (Л, 7, (g1) 7, (g) Л) = (Л, Л).
§ 3. Матричные элементы представлений Tx(g)
1. Вычисление матричных элементов. В этом параграфе мы вычислим матричные элементы представлений Тг (g) группы QU(2). Выберем в пространстве 3) представления Tx{g) базис, состоящий из функций [е !л9}. Так как
Тг &)/(«") = (Ре“ + (I*"18 + ) (1)
(см. формулу (5) п. 2 § 2), то
Тх (g) ё ш = (Ре™ + а)' л’? (Ре"'-9 + а/-л-Е^г'л9. (2)
Матричные элементы i^n (g) представления Т (g) в базисе {е 1п0} являются коэффициентами Фурье в разложении функции Тх (g) е~1пв по системе {e"im9}:
00
Тг(Я)еЫ= ^ tin(g)e-ime- (3)
m = — oo
Из формулы для коэффициентов Фурье получаем
2п
4» fe) = i 5 (Р«" +^У+П+Е (Vй + ^л~ V ("™)9 dfl. (4)
о
Мы получили интегральное представление для матричных элементов. С помощью подстановки е = z получаем представление „ (g) в виде интеграла по окружности Г: | z | = 1
= (^ + ^+n+s(^ + P)^^m-'+s-1fc (5)
