Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
250 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ и МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V
Так как g(0, а0) g (b, а) = g (а0Ь, а0а), то из равенства (1) вытекает, что функции f(g) пространства •&’1 имеют вид
/(g (Ь, a)) =f[g (0, a) g = аоф , (3)
где ср (х) =f(g (х, 1)) — функция на вещественной прямой. Выясним, как преобразуются функции о (л*) при сдвигах g—¦ gga- Пусть с?(x)=f(g(x, 1)). Обозначим через <pg0 (х) функцию, соответствующую f(gg„). Так как g(x, l)g(b(„ a0)=g(x+bM а0), то
»„ w=“М. 0')=•» •
‘go о \ \ а0 ’/J °‘ \ ао ,
Таким образом, операторы RJ (g) реализуются в пространстве функций cs(.v) а виде
(g) <?[(х) = a°cD'J , g = g(b, a). (4)
Разложим представление R° (g) на неприводимые. Для этого сделаем преобразование Фурье
СО
F Q)=\ <р (х) e**dx. (5)
— ОО
Обозначим через Fg(k) преобразование Фурье функции У?3 (g) <р (х). Из формулы (4) вытекает, что
со
(• / г 4- Ь \ ¦¦ “
Fgft-) = aJ \ ? 1—д—J e,AXdx = во+1е-/Хб ^ ® (х) e'^axdx = а°'ле~’^ьF (ак).
— СО — UO
Таким образом, операторы R* (g) при преобразовании Фурье переходят в операторы
R* (g) F (к) = a'+'e-MF (ак). (6)
Если положить F(k) = Х0+1Ф (X), то представление (6) запишется следующим образом:
R° (g) Ф (X) = е~аьФ (ак). (7)
Представление (7) приводимо. Именно, операторы (7) оставляют инвариантными подпространства -&+ и ¦§_, состоящие из функций Ф (X), обращающихся в нуль соответственно при X > 0 и X <с 0. На подпространстве ¦?>+
представление (7) совпадает с построенным в п. 2 неприводимым унитарным
представлением R+(g), а на подпространстве ¦§_—с неприводимым унитарным представлением R_(g).
Итак, мы доказали, что представления группы G, индуцированные одномерными представлениями подгруппы А, распадаются в прямую сумму неприводимых унитарных представлений (и, следовательно, все эти представления эквивалентны друг другу).
§ 21 ГРУППА МН (2) ДВИЖЕНИЙ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 251
Пользуясь полученными результатами, легко разложить регулярное представление группы G. Именно, пусть /(b, a)=f(g)—функция на группе G. Обозначим через /° (g) функцию
СО
f°(g) = \f{tb,ta)t-°-'dt. (8)
О
Покажем, что эта функция принадлежит пространству т. с., что
Р (g (°. «о) g Ф, а)) — a(g). (9)
В самом деле, g (0, a0)g(b, a) = g(a0b, а0а) и потому
СО СО
f°(g( 0, a0)g(b, а)) = ^ fitaab, ta0a) — ajJ f(tb, ta)t-°-ldt =a°f°(g).
b о
Оператору
R(go)f(g) = f(ggo) 0°)
регулярного представления соответствует оператор
X4gt>)f°(g)=f°(ggt>) (Ч)
в пространстве функций /° (g).
Мы видели выше, чго представление (g) распадается в прямую сумму двух неприводимых унитарных представлений, эквивалентных представлениям R+(g) и R~(g)- Чтобы закончить разложение регулярного представле-
ния, нам осталось выразить функцию f (g) через ее компоненты /° (g). Делается это с помощью формулы обращения для преобразования Меллина. Именно, из равенства (8) вытекает, что
с -f i со
f (tb, ta)= ^ f° (b, a) t° da.
c — г со
Полагая здесь t= 1, находим
с г со
f(b’a) = 1L J /° Ф, а) с?з. (12)
С — ICO
Итак, мы доказали, что регулярное представление группы G линейных преобразований прямой распадается в непрерывную прямую сумму представлений Ra (g), каждое из которых является прямой суммой двух неприводимых унитарных представлений группы G.
§ 2. Группа МН (2) движений псевдоевклидовой плоскости
1. Псевдоевклидова плоскость. Назовем псевдоевклидовой плоскостью двумерное вещественное линейное пространство, в котором задана неопределенная билинейная форма
[х,' у] =-— х&ь х=(хи Хг), у = (уа, _v3)- 0)
Расстояние г между точками М(хи х.2) и N(уь у„) псевдоевклидовой
252
ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА
[ГЛ. V
плоскости определяется формулой
