Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 111

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 241 >> Следующая


х[ = г ch (ср -)- в), x's = г sh (ср —|— 6).

(9)

Отсюда следует, что мера d$ на гиперболе инвариантна относительно гиперболических вращений. Будем обозначать подгруппу гиперболических вращений через 2.

Вторая подгруппа состоит из параллельных переносов:

лг ЛГ) Gj, )

¦_ Г (10>

х„ — х% J Для параллельных переносов g = g(ab 0).

Элементы подгруппы А параллельных переносов находятся во взаимно однозначном соответствии с точками псевдоевклидовой плоскости. Поэтому элементы подгруппы Q гиперболических вращений можно рассматривать как автоморфизмы подгруппы А. Равенство

? (а, ш) g (b, ^) = g-(a + b^, ср + 40

цоказываег, что группа МН (2) является скрещенным произведением подгруппы В и группы ее автоморфизмов Q.

3. Параметризация группы МН (2). Каждый элемент g группы МН(2) может быть задан тремя вещественными числами ср, а„ изменяющимися от — со до со. Во многих случаях удобнее другая параметризация этой группы, основанная на следующем предложении:

Каждый элемент g~ g(av аг, ср) группы МН(2) может быть представлен в виде

g=g{0, 0, <!>)/i?(0, 0, ср — ф), (1)
§21 ГРУППА МН (2) ДВИЖЕНИЙ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ плоскости 255

где h — параллельный перенос одного из следующих видов: g=g(±r, 0,0), г>0, \

g=g{0,±r,0), г> 0, /

или

g={± 1. ± 1. 0) (3)

(в последнем случае возможны все четыре комбинации знаков).

В самом деле, пусть, например, —я, Положим

rtj = Г ch ф,

= г sh ф,

где г2 = а\ — а.% г^> 0. Тогда

?(°. 0, ф)зЧг, 0, 0) = ^(r ch ф, гвЬф, ф) = ^(а, ф),

и потому

?(0, о, ф)?(г, 0, 0)*(0, 0, Щ — Ф) =

= g(а. Ф)?(0, <р — ф) = ^(a, <p) = g(a„ а.2, ср).

Аналогично проводится доказательство в остальных случаях. В частности, при г^>0.

g(±r, ±r, v) = g(0, 0, ф)^(± 1, ±1, 0)^(0, 0, 'f — ф), (4)

где = г.

Построенная параметризация группы МН(2) аналогична параметризации группы М (2), рассмотренной в п. 2 § 1 главы IV.

Движения вида

g(0, 0, ф)?-(г, 0, 0)^(0, 0, ср ф), г> 0, (5)

переводят точки квадранта —xt х2 х^ в точки того же квадранта. Следовательно, эти движения образуют полугруппу в группе МН(2)'). Аналогичное утверждение справедливо для движений вида

?(0, 0, ф)?(— г, 0, 0)^(0, 0, ср — ф) (6)

и т. д.

Каждая из этих подгрупп состоит из движений, переводящих точки некоторого квадранта в точки того же квадранта.

4. Алгебра Ли группы МН(2). Построим алгебру Ли группы МН{2). В качестве базиса этой алгебры выберем касательные матрицы к одно-

*) Множество элементов группы образует полугруппу, если вместе с любыми двумя элементами ему принадлежит их произведение.
256

ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА

[ГЛ. V

параметрическим подгруппам 21; 23, состоящим из матриц вида

0)

/ch t sh t 0\

o)3 (t) = ( sh t ch t 0 |.

0 0 1,

Мы имеем

Точно так же находим

V

аЧ (0 dt

0 0 1\

t=о

= 0 0 0

/О о о

а<2 = 1 0 0 1

\о О О

\0 О О/ \

Г

а-л = i 1

1 0\

О 0 'i

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

\о О о/

Соотношения коммутации для матриц аи а.2, а3 имеют следующий вид,

[а1; а2] = 0, (7)

К, а3]=— аь (7')

[а3, а,] = а2. (7")

Во многих случаях вместо матриц ах и а2 удобнее использовать их линейные комбинации:

/О 0 1
§ 31 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ МН (2) 257

Они являются касательными матрицами к однопараметрическим подгруппам 3+ и Е_, состоящим соответственно из матриц

(9)

(90

Соотношения коммутации для матриц h+, h_, а3 имеют следующий вид:

[h+, h_] = 0, (10)

[К, a3] = h+, (10')

[/г_, а,] = А_. (10")
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed