Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 115

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 241 >> Следующая


Продифференцировав это равенство яо t и положив t = 0, получим

- (?«•/(*). (3)

Ж ¦ t «А
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ МН (2)

265

Точно так же доказывается, что подгруппе 3_:

/1 0 t\

&_(*)=,0 1Г (4)

V0 О 1У

соответствует при представлении TR(g) инфинитезимальный оператор

Aj0) = -Re-l?(9), ¦ (5)

а подгруппе 23 гиперболических вращений — оператор

л.м=^4г*- (6)

Выясним, во что переходят эти операторы при замене /(в) на F (к). Для этого надо найти преобразования Фурье функций A+f(0), A_f(в), А3/(0). Мы имеем

СО СО

H{F(k)=] A+f(0)eyidd=. --R $ /(0)D0dB= -RF(k -f 1).(7)

--CO — CO

Точно гак же доказывается, что

H_F(\) = — RFQ<—1). (8)

Наконец, интегрируя по частям, получаем

СО

Н^(к) = 5 Aj(b)elBdb =

— СО

со А со

= — \ ^ f(b)e™dO = IF (к). (9)

— СО — ОО

7. Неприводимость представлений T/t(g). Пользуясь полученными выражениями для инфинитезимальных операторов представле-

ний TR(g), легко доказать, что при R ф 0 эти представления неприводимы. Мы ограничимся доказательством операторной неприводимости этих представлений. Итак, пусть 51 — оператор, перестановочный со всеми операторами представления TR (g). Тогда он должен быть перестановочным и с операторами А+, А_, А.

Оператор Н+ является оператором умножения на — Re9 в пространстве К бесконечно дифференцируемых финитных функций на прямой. Пусть оператор 5 перестановочен с А+. Тогда он перестановочен и со всеми операторами А"= — RnenB. Но на любом конечном отрезке линейными комбинациями функций еп0 можно равномерно аппроксимировать любую непрерывную функцию. Поэтому S
266

ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА

[ГЛ. V

перестановочен со всеми операторами умножения на непрерывные функции и, следовательно, является оператором умножения на бесконечно дифференцируемую функцию

5/(6) = 5 (6)/(6). (1)

Из перестановочности Sc А3 = — ^ получаем s' (6) = 0 и потому s (6) = const.

Итак, мы доказали, что любой оператор, перестановочный со всеми операторами TR(g), является оператором умножения на постоянное число, и потому представление TR(g) операторно неприводимо. Можно доказать, что эти представления и пространственно неприводимы.

В случае R = 0 представление TR(g) имеет вид

7'0(g-)/(S)=/(S-cp), (2)

т. е. сводится к регулярному представлению аддитивной группы вещественных чисел. Преобразование Фурье по в задает разложение этого представления в непрерывную прямую сумму одномерных представлений.

§ 4. Рекуррентные формулы и дифференциальное уравнение для функций Макдональда и Ганкеля

1. Соотношения между инфинитезимальными операторами и операторами представления. Положим для определенности, что R=l. Рассмотрим элемент

g=g(r, 0, 0)g{t, t, 0) = g(r-)-1, t, 0), (1)

r^>0, ^^>0, группы MH(2). Как было показано в п. 3 § 1, этот элемент можно представить в виде

g-=g-(0, 0, ф)?-(р, 0, 0)^(0, 0, — ф), (2)

где

р ch ф = г

(3)

р sh <\i = t 1 v '

и потому

P2 = r2 + 2rt, ]

1

Отсюда вытекает, что ‘)

Q(r, 0, 0)Q(t, t, 0) = Q(0, 0, <WQ(P) 0, 0)Q(0, 0, — ф). (5)

l) Для краткости мы пишем Q (а, Ь, <р) вместо QR(g(a, Ь, <р)).
| 4) рекуррейтйыЁ Формулы й дЙФФег>енЦйалъноё уравнение 26f

Продифференцируем обе части равенства (5) по t и положим ^='0. Из формул (4) при t = 0 имеем р = г, ф = 0 и

dp

dt

— 1 dA_ t — 0 ’ dt

(6)

t = О r

Далее, Q(0, 0, 0) — единичный оператор и

= Я , (7)

dQ (t, t, 0) dt

t = о

a

dQ (0, 0, Ф) I _ H

dty № = 0 3 '

(8)

Поэтому в результате дифференцирования равенства (5) получим Q(r, 0, 0) Я = dQ + у (H3Q (г, 0, 0) — Q (г, О, 0)Я3). (9)

Точно так же доказывается равенство Q(r, 0, 0) H+=dQ (Г’Г0—-- у (H3Q (г, 0, 0) — Q(r, О, 0)Я3). (10)

2. Рекуррентные формулы. Чтобы получить рекуррентные формулы для функций Макдональда, надо сравнить ядра операторов в правой и левой частях в формулах (9) и (10) п. 1.
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed