Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Продифференцировав это равенство яо t и положив t = 0, получим
- (?«•/(*). (3)
Ж ¦ t «А
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ МН (2)
265
Точно так же доказывается, что подгруппе 3_:
/1 0 t\
&_(*)=,0 1Г (4)
V0 О 1У
соответствует при представлении TR(g) инфинитезимальный оператор
Aj0) = -Re-l?(9), ¦ (5)
а подгруппе 23 гиперболических вращений — оператор
л.м=^4г*- (6)
Выясним, во что переходят эти операторы при замене /(в) на F (к). Для этого надо найти преобразования Фурье функций A+f(0), A_f(в), А3/(0). Мы имеем
СО СО
H{F(k)=] A+f(0)eyidd=. --R $ /(0)D0dB= -RF(k -f 1).(7)
--CO — CO
Точно гак же доказывается, что
H_F(\) = — RFQ<—1). (8)
Наконец, интегрируя по частям, получаем
СО
Н^(к) = 5 Aj(b)elBdb =
— СО
со А со
= — \ ^ f(b)e™dO = IF (к). (9)
— СО — ОО
7. Неприводимость представлений T/t(g). Пользуясь полученными выражениями для инфинитезимальных операторов представле-
ний TR(g), легко доказать, что при R ф 0 эти представления неприводимы. Мы ограничимся доказательством операторной неприводимости этих представлений. Итак, пусть 51 — оператор, перестановочный со всеми операторами представления TR (g). Тогда он должен быть перестановочным и с операторами А+, А_, А.
Оператор Н+ является оператором умножения на — Re9 в пространстве К бесконечно дифференцируемых финитных функций на прямой. Пусть оператор 5 перестановочен с А+. Тогда он перестановочен и со всеми операторами А"= — RnenB. Но на любом конечном отрезке линейными комбинациями функций еп0 можно равномерно аппроксимировать любую непрерывную функцию. Поэтому S
266
ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА
[ГЛ. V
перестановочен со всеми операторами умножения на непрерывные функции и, следовательно, является оператором умножения на бесконечно дифференцируемую функцию
5/(6) = 5 (6)/(6). (1)
Из перестановочности Sc А3 = — ^ получаем s' (6) = 0 и потому s (6) = const.
Итак, мы доказали, что любой оператор, перестановочный со всеми операторами TR(g), является оператором умножения на постоянное число, и потому представление TR(g) операторно неприводимо. Можно доказать, что эти представления и пространственно неприводимы.
В случае R = 0 представление TR(g) имеет вид
7'0(g-)/(S)=/(S-cp), (2)
т. е. сводится к регулярному представлению аддитивной группы вещественных чисел. Преобразование Фурье по в задает разложение этого представления в непрерывную прямую сумму одномерных представлений.
§ 4. Рекуррентные формулы и дифференциальное уравнение для функций Макдональда и Ганкеля
1. Соотношения между инфинитезимальными операторами и операторами представления. Положим для определенности, что R=l. Рассмотрим элемент
g=g(r, 0, 0)g{t, t, 0) = g(r-)-1, t, 0), (1)
r^>0, ^^>0, группы MH(2). Как было показано в п. 3 § 1, этот элемент можно представить в виде
g-=g-(0, 0, ф)?-(р, 0, 0)^(0, 0, — ф), (2)
где
р ch ф = г
(3)
р sh <\i = t 1 v '
и потому
P2 = r2 + 2rt, ]
1
Отсюда вытекает, что ‘)
Q(r, 0, 0)Q(t, t, 0) = Q(0, 0, <WQ(P) 0, 0)Q(0, 0, — ф). (5)
l) Для краткости мы пишем Q (а, Ь, <р) вместо QR(g(a, Ь, <р)).
| 4) рекуррейтйыЁ Формулы й дЙФФег>енЦйалъноё уравнение 26f
Продифференцируем обе части равенства (5) по t и положим ^='0. Из формул (4) при t = 0 имеем р = г, ф = 0 и
dp
dt
— 1 dA_ t — 0 ’ dt
(6)
t = О r
Далее, Q(0, 0, 0) — единичный оператор и
= Я , (7)
dQ (t, t, 0) dt
t = о
a
dQ (0, 0, Ф) I _ H
dty № = 0 3 '
(8)
Поэтому в результате дифференцирования равенства (5) получим Q(r, 0, 0) Я = dQ + у (H3Q (г, 0, 0) — Q (г, О, 0)Я3). (9)
Точно так же доказывается равенство Q(r, 0, 0) H+=dQ (Г’Г0—-- у (H3Q (г, 0, 0) — Q(r, О, 0)Я3). (10)
2. Рекуррентные формулы. Чтобы получить рекуррентные формулы для функций Макдональда, надо сравнить ядра операторов в правой и левой частях в формулах (9) и (10) п. 1.