Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
K,{z)= \je-*^tch'ttdt = L- J «?-*<*(1)
0 — со
Очевидно, что /С, (2) является аналитической функцией от v и z,
если z изменяется в указанной полуплоскости. При Rez=g:0 опре-
делим K4{z) с помощью аналитического продолжения по z. Тем самым /С, (z) однозначно определено в комплексной плоскости, разрезанной вдоль луча — оо z 0. Функция Кч (z) называется функцией Макдональда от z с индексом v. Из равенства (1) следует, что
*, (*) = *_,(*). (2)
Функции Макдональда тесно связаны с так называемыми функциями Ганкеля первого и второго рода. Эти функции при Jt^>0,
— 1 Re v 1 определяются формулами
СО
^ gixchi-ildt (3)
со
II
МЯI
т 03
н{*>(х) = — ^ e-lx*ht~4‘dt (3')
— со
(нетрудно показать, что при указанных условиях эти интегралы сходятся). Сравнивая формулы (3) и (3') с формулой (1), убеждаемся,
№’ (-*0
V7Ц ' ~2~
§ 31 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ МН(2) 263
«
Иными словами, функции Ганкеля H\v (х) и Н?'(х) с точностью до числового множителя совпадают со значениями функции Макдональда на отрицательной и положительной мнимой полуосях.
Пользуясь формулами (4) и (4'), можно продолжить функции Ганкеля на всю комплексную плоскость. При этом для функции Hi,1' (z) плоскость надо разрезать вдоль луча —оо<Мт.г<^0, а для функции Н°'(z)— вдоль луча 0 1т г со.
Нам понадобится в дальнейшем еще интеграл
СО
^ eixs\\ t — it dt, где x^>0, —l<^Rev<^l. (5)
— CO
Для вычисления указанного интеграла сделаем замену переменной t = u-\-^-i. Так как sh ^и-|-“ zj = г ch и, то получаем
* .
. СО I
СО ТtV* I
^ gix sh t - it dt = е~ у g х ch и чи du.
— со я .
-со-х«
Сдвинем контур интегрирования на ~1 и используем формулу (1).^ Мы тюлучим при лг^>0
со Ttv/
^ gix sh t — it dt = 2e 2 /Сч (.к) = irZ Hu (ix). (6)
— CO
Точно так же доказывается, что при х^>0
со Ttv/
^ е- ix sh t - и dt = 2e '2~K, (x) = — xi H'2' (— ix) = izl Hl\ (ix). (7)
— CO
Из формул (4) и (4') вытекает, что
Н*' (JC) = — е™‘ Н1> (е*{ х). (8)
В силу аналитичности функций Ганкеля эта формула верна во всей плоскости, разрезанной вдоль луча 0<^1т?<^оо.
Из равенства /С, (z) = /С v (z) и формул (4) и (4') следует, что
Н™ (z) = — Hl\ (е™ z) = eni Н±\ (z). (9)
Аналогично,
H,v (z) = — Hl\ (,е~Kt z) — е~VM' Hl\ (z). (9')
б. Выражение ядер представления Qn(g) через функцию МакДональда. Из формул (9), (10) п. 2 и (1) п. 4 вытекает, что при S~g(r, 0, 0), Re/?^>0 оператор QR(g) является интегральным one-
264 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА (ГЛ. V
ратором, кдро которого выражается следующим образом через функцию Макдональда:
К (К .щ R; r) = ^rK,^(Rr). (1)
В п, 3 было показано, что при Re/? = 0 все операторы QR(g) являются интегральными операторами. В этом случае удобно выражать ядра операторов через функции Ганкеля. Пусть R = ip, р^>0. Тогда по формуле (7) п. 4 для элемента g=g(r, 0, 0) имеем
(* — w
К (К К tp; g)= - е—^-------Ц*>_ я (гр), (2)
где — 1 < Re (X — ц) < 1.
Аналогично, для элемента g=g(—г, 0, 0) получаем
(р. — X) 71 i
К (X, w ip; g) =•е—^— H«L X (rp), (2')
для элемента g=g(0, г, 0)
К (X, |Ч /PI g)=~H?Ll (/rp) = ^ К* _ х (гр) (2")
и для элемента g-=g-(0, —г, 0)
/Г (X, к ip; g) = -' НУ, (irp) = ± „ (rp). (2"')
Для элементов вида g- = g-(ztr, ± г, 0) справедливы формулы (16) — (19) п. 2, в которых надо заменить R на 1р.
6. Инфинитезимальные операторы представлений Тц (g) и <?*(?)• Вычислим инфинитезимальные операторы представлений TR(g) и QR(g). Сначала найдем оператор, соответствующий однопараметрической подгруппе Е+:
!\ 0 t\
(0 = \ 0 1 (1) V0 0 1 /
Оператор TR(i+(t)) переводит функцию /(6) в функцию
Т^+т\в) = е-к^/(в). (2)
