Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
— со а — ioo
Если Re/?^> 0, то интеграл (8) абсолютно сходится при всех X. Поэтому мы можем изменить порядок интегрирования. Следовательно,
а -]- ico
QR(g)F(i)= 5 К (К Iк R; Г) F (ji) dp, (9)
а — ico
где положено
со
К (К к R; т) = ^ J + (10)
— СО
Тем самым доказано, что при g=g(r, 0, 0), r^>0, Re/?^>0 оператор QR(g) является интегральным преобразованием с ядром
260
ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА
[ГЛ. V
КR; г). Ниже это ядро будет выражено через так называемые функции Макдональда, тесно связанные с функциями Бесселя.
Аналогичный вид имеет Q#(g)F(k) и в случае, когда ReR<^0 и g = g(—г, 0, 0), г^>0. В этом случае в формуле (10) надо заменить г на — г.
Пользуясь полученными формулами, легко получить выражение оператора QR(g) для любого элемента g=g(au а2, ср), такого, что
— Oi<Ca2<Cai (как было отмечено в п. 3 § 1, такие элементы образуют полугруппу в группе МН{2)). Если —aj<^a2<^aj, то элемент g=g(aj, a2, ср) можно представить в виде
g=g(0, 0, ф)?(г, 0, 0)^(0, 0, ср — ф), (11)
где г^>0 (см. п. 3 § 1). Элементу g(r, 0, 0) соответствует интегральный оператор с ядром К (К $ R', г), а элементам ^(О, 0, ср — ф) и §¦(0, 0, ф) — операторы умножения на и е ф соответственно.
Поэтому
a + ioo
= 5 *(Х« W R> (12)
а — ico
где
к (К К R; g) = e{x К R; г). (13)
Аналогично записываются при ReR<^0 операторы QK(g(au a2, ср)) в случае ах а.г — ах.
Однако для элементов вида ^(0, ± г, 0) при Re R^Q выражение в виде интегрального оператора не получается, поскольку в этом случае мы приходим к интегралу
СО
^ е± Яг sh о + (X - ц) в de> (14)
— СО
который расходится при ReR^O для всех значений X и jjl. Случай Re/? = 0 будет изучен ниже.
Особенно простой вид принимают ядра операторов QR (g), если g является параллельным переносом в направлении прямых х, = -I- х.г.
Если Re/?^>0, то интегралы для элементов g = g(r, —г, 0) и g—gir> г, 0), г>0 сходятся. Именно, при g=g(r, —г, 0)
СО
К (К W R-, g) = ^ J
— СО
Подстановка eb = t преобразует этот интеграл к виду
СО
*(*. к Я; *) = 2й ^
о
§ 31 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ МН (2) 261
Как было показано в п. 4‘§ 1, этот интеграл сходится при Re(X—1^)^>0 и равен ^ (Rr)l> Поэтому при g=g(r, —г, 0), г^>0,
К (К 14 R; g) = 1^r-(Rrr~\ 1
Refi>0, Re(X — ц)>0. j Точно так же доказывается, что если g=g(r, г, 0), то
К(К к R; g)=^^}(Rr?~\ j
(16)
(17)
Re R y> 0, Re (jj, — X) > 0,
если g=g(—r, r, 0), to
J
K(K ) (18)
Re/?<0, Re(X —]л)>0, J и если g=g(—r, —r, 0), to
KlKKR;g>=^=^l-Rr?-*, 1 (]9)
Refi<0, Re(i* — X)>0. j
3. Унитарный случай. Нам осталось рассмотреть случай, когда
R — чисто мнимое число, т. е. когда представление QR(g) унитарно
(см. п. 1). Пусть R = pi, р^>0. Тогда элементу g=g(r, 0, 0) соот-сетствует оператор
со a -j- ico
Q,il?)F(V = -^f Je-^<che § (1)
— co a — ico
Интеграл (1) не является абсолютно сходящимся, но можно доказать, что при —l<^Re(X — перестановка порядка интегрирования
допустима, и потому
а + ico
Q;J (g) F (x) = $ K (X’ ^ {/v' g)F{y.)d\x, (2)
где
К(X, |ц pt; g)=^f § e-'-p'ch9 + (^-i1)9fi?6, (3)
— CO
-l<Re(X^ji)<l.
262
ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА
[ГЛ. V
Аналогичный вид имеет оператор Qp,(g) при g~g(0, ±г, 0). В этом случае ядро задается интегралом
СО
к (К К РZ; = § e±'-p'sh0 + (X-|i)efif0_ (4)
— СО
4. Функции Макдональда и Ганкеля. Введем новую специальную функцию K^{z), положив при любом комплексном значении v и Rez^>0,
СО СО