Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 113

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 241 >> Следующая


— со а — ioo

Если Re/?^> 0, то интеграл (8) абсолютно сходится при всех X. Поэтому мы можем изменить порядок интегрирования. Следовательно,

а -]- ico

QR(g)F(i)= 5 К (К Iк R; Г) F (ji) dp, (9)

а — ico

где положено

со

К (К к R; т) = ^ J + (10)

— СО

Тем самым доказано, что при g=g(r, 0, 0), r^>0, Re/?^>0 оператор QR(g) является интегральным преобразованием с ядром
260

ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА

[ГЛ. V

КR; г). Ниже это ядро будет выражено через так называемые функции Макдональда, тесно связанные с функциями Бесселя.

Аналогичный вид имеет Q#(g)F(k) и в случае, когда ReR<^0 и g = g(—г, 0, 0), г^>0. В этом случае в формуле (10) надо заменить г на — г.

Пользуясь полученными формулами, легко получить выражение оператора QR(g) для любого элемента g=g(au а2, ср), такого, что

— Oi<Ca2<Cai (как было отмечено в п. 3 § 1, такие элементы образуют полугруппу в группе МН{2)). Если —aj<^a2<^aj, то элемент g=g(aj, a2, ср) можно представить в виде

g=g(0, 0, ф)?(г, 0, 0)^(0, 0, ср — ф), (11)

где г^>0 (см. п. 3 § 1). Элементу g(r, 0, 0) соответствует интегральный оператор с ядром К (К $ R', г), а элементам ^(О, 0, ср — ф) и §¦(0, 0, ф) — операторы умножения на и е ф соответственно.

Поэтому

a + ioo

= 5 *(Х« W R> (12)

а — ico

где

к (К К R; g) = e{x К R; г). (13)

Аналогично записываются при ReR<^0 операторы QK(g(au a2, ср)) в случае ах а.г — ах.

Однако для элементов вида ^(0, ± г, 0) при Re R^Q выражение в виде интегрального оператора не получается, поскольку в этом случае мы приходим к интегралу

СО

^ е± Яг sh о + (X - ц) в de> (14)

— СО

который расходится при ReR^O для всех значений X и jjl. Случай Re/? = 0 будет изучен ниже.

Особенно простой вид принимают ядра операторов QR (g), если g является параллельным переносом в направлении прямых х, = -I- х.г.

Если Re/?^>0, то интегралы для элементов g = g(r, —г, 0) и g—gir> г, 0), г>0 сходятся. Именно, при g=g(r, —г, 0)

СО

К (К W R-, g) = ^ J

— СО

Подстановка eb = t преобразует этот интеграл к виду

СО

*(*. к Я; *) = 2й ^

о
§ 31 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ МН (2) 261

Как было показано в п. 4‘§ 1, этот интеграл сходится при Re(X—1^)^>0 и равен ^ (Rr)l> Поэтому при g=g(r, —г, 0), г^>0,

К (К 14 R; g) = 1^r-(Rrr~\ 1

Refi>0, Re(X — ц)>0. j Точно так же доказывается, что если g=g(r, г, 0), то

К(К к R; g)=^^}(Rr?~\ j

(16)

(17)

Re R y> 0, Re (jj, — X) > 0,

если g=g(—r, r, 0), to

J

K(K ) (18)

Re/?<0, Re(X —]л)>0, J и если g=g(—r, —r, 0), to

KlKKR;g>=^=^l-Rr?-*, 1 (]9)

Refi<0, Re(i* — X)>0. j

3. Унитарный случай. Нам осталось рассмотреть случай, когда

R — чисто мнимое число, т. е. когда представление QR(g) унитарно

(см. п. 1). Пусть R = pi, р^>0. Тогда элементу g=g(r, 0, 0) соот-сетствует оператор

со a -j- ico

Q,il?)F(V = -^f Je-^<che § (1)

— co a — ico

Интеграл (1) не является абсолютно сходящимся, но можно доказать, что при —l<^Re(X — перестановка порядка интегрирования

допустима, и потому

а + ico

Q;J (g) F (x) = $ K (X’ ^ {/v' g)F{y.)d\x, (2)

где

К(X, |ц pt; g)=^f § e-'-p'ch9 + (^-i1)9fi?6, (3)

— CO

-l<Re(X^ji)<l.
262

ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА

[ГЛ. V

Аналогичный вид имеет оператор Qp,(g) при g~g(0, ±г, 0). В этом случае ядро задается интегралом

СО

к (К К РZ; = § e±'-p'sh0 + (X-|i)efif0_ (4)

— СО

4. Функции Макдональда и Ганкеля. Введем новую специальную функцию K^{z), положив при любом комплексном значении v и Rez^>0,

СО СО
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed