Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
г3 = (*! — jO* — (ЛГ4 —_у4)3 == [х — у, X — у].
(2)
Эта формула определяет расстояние лишь с точностью до знака.
В отличие от случая евклидовой плоскости, на псевдоевклидовой плоскости расстояние между двумя точками может быть не только вещественным, но и чисто мнимым. В частности, расстояние между двумя различными точками M(xit лг3) и N(ylt у$) псевдоевклидовой плоскости может равняться нулю. Это будет, если
Введем на псевдоевклидовой плоскости аналог полярной системы координат. Прямые хх = х^ и ЛГ) = — л;2, точки которых отстоят от начала координат на нулевое расстояние, разбивают плоскость на четыре квадранта. В первом из них имеем —хх хь и потому
гг = х^ — х\ 0, хх 0. Мы будем считать, что в этом квадранте г^>0. Так как r* = x2t—х\, то мы можем положить
Когда г изменяется от 0 до сю, а 6—от — сю до сю, точка (jct, лг^) пробегает весь квадрант. Точно так же во втором квадранте —х%<^ и г* = х\ — лг^^О. Поэтому в нем можно положить
где г = /|г]— чисто мнимое число. Аналогично, в третьем квадранте лг1<^лг2<^—Х\ имеем г* = х\—и мы полагаем
Xi = — г ch 6, )
*2 = — г sh 6, } <3">
а в четвертом, Ar2<^-^i<C — хъ имеем г’2 = х\ — ^<^0, лг2<^0:
= — гг sh 6, )
*,= ir ch 6. J ^
Ясно, что задание вещественного или чисто мнимого числа г и вещественного числа 6 однозначно определяет точку псевдоевклидовой плоскости.
2. Группа МП(2). Назовем движением псевдоевклидовой плоскости неоднородное линейное преобразование двух переменных, не меняющее ориентации, сохраняющее расстояние между точками этой плоскости и переводящее точки одного из квадрантов в точки того же
-*• — У1 = ± (Хъ—Уг)-
jcj = г ch 6, хг = г sh 6.
(3)
(30
s 21 ГРУППА МН (2) ДВИЖЕНИЙ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ плоскости 253
квадранта. Очевидно, что движения псевдоевклидовой плоскости образуют группу. Мы будем обозначать ее через МН{2). Как и для евклидовой плоскости, устанавливается, что такие преобразования задаются формулами
х[ = хх ch ср -)- х% sh ср -)- ах, х'2 = хх sh ср —|— х% ch ср -)- а2,
где
(1)
— со а, со,
— сю < < сю, [ (2)
— со <^ср сю.
Таким образом, каждое движение g псевдоевклидовой плоскости
задается тремя вещественными числами аь а2> Мы будем обозначать его через g=g(al, сц, ср).
Из формулы (1) непосредственно вытекает, что
g(ax, аь ср) g (bx, Ьь ф) = ^(с„ съ в), (3)
где
С\ = bx ch ср -j- b% sh ср -j- аь (4)
» с% bx sh ср —|— ch ср —|— а2, (4)
6=ср + ф. (4")
Эти формулы можно истолковать так: обозначим через а вектор
(а1; а2) и через а? вектор, в который переходит а при гиперболи-
ческом вращении на «угол» ср:
а? = (at ch ср -)- а2 sh ср, at sh ср —(— а3 ch ср).
Тогда
g(a, f)g(b, 6) = g-(a + b?, ср —(— ф). (5)
Легко видеть, что параметры ах = = ср = 0 задают тождественное движение и что движением, обратным g(а, ср), является
g(— *-г — ?)•
Группу МН(2) можно реализовать как группу матриц третьего порядка. Для этого каждому движению вида (1) поставим в соответствие матрицу
/ch ср shcp аД
¦<4(g)=jshcp ch ср а2 |. (6)
V 0 0 1 J
Непосредственная проверка показывает, что это соответствие является представлением группы МН(2), т. е., что
A (gig3) = A (gt) А Ы- (7)
Представление A(g) приводимо, но не вполне приводимо.
254
ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА
[ГЛ. V
Отметим две подгруппы группы МН(2). Первая из них состоит из движений псевдоевклидовой плоскости, оставляющих неподвижной точку (0, 0). Эти движения называются гиперболическими вращениями. Они задаются формулами
х[ = JCj ch ср -)- х2 sh ср, jr' = sh ср -)- ch ср.
(«)
Иными словами, для гиперболических вращений имеем g = g(0, 0, ср) При гиперболических вращениях каждая точка псевдоевклидовой плоскости движется по линии г2 = const, т. е. по гиперболе х\—х*2 = =г2. Если г2^>0, то точки гиперболы имеют координаты ATj = rch6, jc2 = rsh6. Из формулы (8) видно, что гиперболическое вращение переводит точку М (JCt, лг2) в точку N (х\, х'3), где
