Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
1-ПЛ^?-1[ 1
1 -hiY V0/E-l V '
поэтому амплитуды обеих волн равны по модулю. Квадрат модуля амплитуды пропорционален «потоку» частицы, и, таким образом, волновая функция (25а) описывает положение, характерное тем,
/7алная энергия
Рис. 25А. Волна проникает в классически запрещенную область. Область слева от барьера занята стоячей волной, которая образуется прн интерференции приходящей волны и волны, отраженной от барьера. Заметьте, что в точке поворота волновая функция и ее производная непрерывны
- к"0 а
\сэш\
кЛАЛАД
Лазающая и отраженная волны
/Jpaais.9-шй/i еглна
что частица, пришедшая слева, отражается от скачка потенциала и уходит влево. Такая интерпретация находится в согласии с классической картиной.
Волновая функция для х>0 [уравнение (25Ь)] описывает проникновение шредингеровской волны в область, запрещенную для классической частицы. Амплитуда такой волны экспоненциально уменьшается по мере проникновения в запрещенную область, и на больших расстояниях от барьера амплитуда практически равна нулю, в согласии с классической картиной. Рис. 25А иллюстрирует эти утверждения.
26. Интересно рассмотреть предельный случай, когда высота потенциального барьера стремится к бесконечности, т. е. когда Уо-^+оо (энергия Е не меняется). Из выражений (25с) следует, что при неограниченном возрастании V0 величина q также стремится к бесконечности, что означает бесконечно быстрое уменьшение амплитуды волновой функции по мере увеличения глубины проникновения (от классической точки поворота). По мере увеличения высоты барьера волновая функция все меньше и меньше проникает в запрещенную область. Из (25Ь) следует, что амплитуда прошедшей волны стремится к нулю, если V0 стремится к бесконечности. В пре-
дельном случае бесконечно высокого барьера
сy(x) — eixk-\-e~ixk для х < 0, (26а)
Ф (л) =0 для л: > 0. (26Ь)
Итак, при бесконечно высоком потенциальном барьере волновая функция должна исчезать у барьера, т. е. при х—Q, и справа от него, т. е. при лС>0.
273
Па рпс. 26А показано поведение квадрата модуля волновой функции, т. е. плотность вероятности обнаружения частицы. Заметим, что слева от барьера плотность вероятности испытывает осцилляции, которые представляют собой квантовомеханический интерференционный эффект, не имеющий аналога в классической механике. Такое же явление, естественно, видно и на рис. 25А.
*+¦ OJ
бесконечно высокий скачок потенциала ------------?
-О
19^]^' ] л л Рис. 26А. Предельный случай беско-
Л ~ Л нечно большого скачка потенциальной
В точке по-в нуль обращается волновая
А А А А ; нечно большого скачка г
V / \ / \ / \ / \I энергии (ср. с рис. 25А).
\] \1 \/ V/ \_______________ ^ ворота в нуль обращае
flrinoivuiojiипгпип'щрн- Pflf- функция, производная квадрата волно-
//ли/ьи+ш/ашпуилсы La.J^n.bjat вон функции, но не производная самой
М3 Я вОЛНЫ вОЛЛд/ НВМ волновой функции
27, Мы столь подробно рассмотрели случай внезапного скачка потенциала, чтобы показать существование решения уравнения Шредингера и его физическую интерпретацию. Можно быть уверенным, что решение существует и в более общем случае разумно непрерывного или составленного из отдельных скачков потенциала. Разумеется, не всегда легко найти явный вид решения, но возникающие трудности имеют чисто математический, вычислительный характер. Даже не имея точного решения, часто можно сказать очень много о его свойствах и получить, таким образом, сведения
о поведении физической системы. Так, например, изучение свойств волновой функции привело нас к выводу, что шредингеровская волна может проникать в области, запрещенные для частицы классической механикой.
28. Чтобы расширить наше понимание уравнения Шредингера, рассмотрим рис. 28А, где показан внезапный скачок потенциала. Мы хотим изучить движение частицы с энергией E>V0 в таком поле. (Подробное изучение этой ситуации мы оставляем для задачи 1 в конце главы.)
Читатель заметит, что в области слева от скачка потенциала существуют два возможных решения и столько же решений имеется для области справа от скачка. Но как узнать, какое из решений следует избрать? Это зависит от исследуемой физической ситуации. Допустим, что частица падает на барьер, двигаясь слева направо. Волна частично отразится от барьера, но часть будет продолжать распространяться в прежнем направлении. Это означает, что правильная волновая функция нашей задачи должна соответствовать частице, движущейся направо в область х>0, т. е. должна иметь там вид exp (ixk'). В области слева от скачка потенциала волновая функция будет иметь вид
