Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим, скажем, движение частицы в отсутствие внешнего поля, т. е. движение свободной частицы. Теория Шредингера основана на волновом уравнении, известном под названием уравнения Шредингера. Его решением является волна де Бройля, «связанная» с частицей. В п. 37 гл. 5 мы имели уже дело с одним из волновых уравнений, а именно с уравнением Клейна — Гордона. Это уравнение обладает релятивистской инвариантностью и применимо при любой скорости движения частицы. Мы хотим изменить уравнение Клейна — Гордона таким образом, чтобы оно согласовалось с приближениями, на которых основана теория Шредингера, иными словами, мы хотим получить его нерелятивистское приближение. Затем мы дадим физическое истолкование волновой функции t), описывающей волну де Бройля.
8. В гл. 5 мы дали грубую интерпретацию волновой функции: «частицу легче найти в тех областях пространства, где амплитуда
262
(jc, t) велика». Здесь мы сделаем специальное предположение, которое придаст этой идее количественный характер.
Шредингеровская волновая функция г|з(лг, t), т. е. амплитуда волны де Бройля, в теории Шредингера определяет вероятность нахождения частицы в данной точке пространства и времени. Если мы пытаемся установить положение частицы в данный момент времени t, то вероятность обнаружить частицу в малой части объема d3 (лг), содержащей точку х, пропорциональна |г|з (лт, t)\2d3 (лг). Таким образом, плотность вероятности пропорциональна квадрату модуля волновой функции.
Это характерное и основное предположение теории Шредингера. Чтобы иметь возможность делать точные вычисления, мы, естественно, должны иметь какую-то интерпретацию волновой функции, и сформулированная выше вероятностная интерпретация и удобна, и физически прозрачна, и плодотворна. Эта глубокая и важная идея впервые высказана была Максом Борном *).
9. Шредингеровская волновая функция зависит от положения и времени и является комплексной величиной, удовлетворяющей (линейному) уравнению Шредингера (которое мы вскоре напишем).
Определенная волновая функция соответствует некоторому определенному состоянию движения частицы. Заметим, что если г|з(дг, /) — возможная для данного состояния волновая функция, то функция ев‘^(х, ^) =ijj](jc, t) также возможна, если 0 — вещественная постоянная. Очень важно, что плотности вероятности, определяемые функциями г|з и г|5ь совпадают. Это означает, что обе волновые функции г|з(лт, t) и ^(лг, t) описывают одно и то же состоя* ние движения частицы. Мы можем утверждать, что каждой волновой функции соответствует определенное состояние движения частицы. Обратное утверждение неверно: данное состояние движения частицы определяет шредингеровскую волновую функцию с точностью до постоянного комплексного коэффициента с модулем, равным единице. Две волновые функции, отличающиеся таким множителем, соответствуют одному и тому же физическому состоянию.
10. Обозначим массу частицы через т и рассмотрим плоскую волну с импульсом р. Энергия частицы **)
Перейдем теперь к нерелятивистскому приближению, когда скорость частицы много меньше скорости света. Такое предположение означает, что в выражении (10а) слагаемое с2р2 много меньше слагаемого т2с4. Разлагая выражение под корнем (10а) по степеням /?г и удерживая два первых члена, получим
*) Вот М. Quantenmechanik der Stossvorgange.— Zs. f. Phys., 1926, v. 38, p. 803.
**) В этой главе мы пользуемся системами единиц СИ или СГС.
Е = У т2с4 -f- сгрг.
(Юа)
Еяхтс2 -f- р*12т.
(10Ь>
263.
Первое слагаемое в (10Ь) дает энергию покоя частицы, а второе — нерелятивистское выражение для ее кинетической энергии.
Соответствующая волновая функция де Бройля, которую мы обозначим через ^(л:, t), приближенно равна
tfc (x.t) = exp Jg) exp ( -^p). (10е)
Ее можно записать в виде произведения двух множителей. Первый из них обозначим через (jc, t):
p(Y-S)-
Тогда имеем
Фа (х, 0 =^s (х, t) exp (—itmc^/h),
при этом
0l2==LtsU> 0la- (I0i)
Из равенства (lOf) следует, что обе волновые функции я|>а и я|>в отличаются комплексным множителем с модулем, равным единице, который не зависит от состояния движения частицы, т. е. от импульса р. Квадраты абсолютных значений обеих волновых функций совпадают в любой точке пространства для всего времени. Для описания распределения вероятности волновая функция ij;s так же хороша, как и «правильная» волновая функция де Бройля Именно такая операция над волновой функцией и производится в теории Шредингера. Функция грs, определенная равенством (10d), является шредингеровской волновой функцией, описывающей свободную частицу, движущуюся с малым импульсом р. Произведенный выбор волновой функции является вопросом удобства; зачем вводить в вычисления множитель exp (—itmc2/%), если заранее известно, что за ним не скрывается никакого «физического смысла»?
11. В общем случае волновая функция Шредингера может быть •представлена суперпозицией плоских волн, имеющих вид (10d). Чтобы найти волновое уравнение, которому удовлетворяет любая волновая функция Шредингера, повторим рассуждения, приведенные в п. 37 гл. 5. Итак, мы хотим иметь простейшее линейное волновое уравнение, которому удовлетворяет любая плоская волна. Выкладки полностью аналогичны произведенным в гл. 5, и мы получаем
