Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вихман Э. -> "Квантовая физика" -> 135

Квантовая физика - Вихман Э.

Вихман Э. Квантовая физика — М.: Наука, 1972. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayafizika1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 194 >> Следующая


268
можный подход заключается в систематическом изучении различных волновых уравнений, допускающих разумную физическую интерпретацию, включая вероятностную интерпретацию, рассмотренную» в п. 8. Мы хотим сохранить эту интерпретацию волновой функции для частицы, находящейся под действием сил. Можно показать, что уравнение (17а) в определенном смысле является простейшим волновым уравнением для квантовомеханических задач, которые «соответствуют» классическим задачам для частицы, движущейся в потенциальном поле V(x). Подробное исследование этих проблем увело бы слишком далеко, и нам следует поэтому принять уравнение (17а) как рабочую гипотезу, основанную на высказанных выше соображениях.

18. Уравнение (17а) относится к волне, имеющей определенную энергию Е. Для такой волны справедливо уравнение (16а), и (17а) можно переписать в виде

0 + ^ (*Ж*> t)=ih ^{х, 0; (18а)

здесь Е отсутствует, и, таким образом, (18а) справедливо для любой энергии и, следовательно, для любой волны Шредингера.

Уравнения (17а) и (18а) представляют собой знаменитые уравнения Шредингера. Уравнение (18а) известно как зависящее от времени уравнение Шредингера, а уравнение (17а)—уравнение Шредингера, не зависящее от времени. Следует иметь в виду, что уравнение (18а) справедливо для всех волн Шредингера, тогда как (17а) выполняется только для волн, описывающих частицу с заданной энергией Е.

Наилучшим подтверждением справедливости уравнений (17а) и (18а) является совпадение предсказаний, основанных на этих уравнениях, с опытом. Вскоре после великого открытия Шредингера его уравнения были с замечательным успехом применены ко многим областям атомной и молекулярной физики. Сам Шредингер принимал активное участие в этих исследованиях. В следующей главе мы познакомимся с тем, как он объяснял квазистабильные состояния атомов. Нельзя не восхищаться интуицией Шредингера, которая привела к уравнению (18а). Оно справедливо в пределах допущений, на которых основано.

В нашу задачу не входит рассмотрение общей теории решения уравнения (18а); мы ограничимся несколькими весьма простыми примерами, которые помогут понять, как это уравнение «работает».

Некоторые простые «барьерные» задачи

19. Предположив, что уравнения Шредингера (17а) и (18а) справедливы для любой потенциальной функции V(x), мы при «выводе» уравнения (17а) имели, однако, дело со случаем, когда потенциал V(х) везде меньше полной энергии Е. Посмотрим теперь, что происходит в тех областях пространства, где потенциал V (х) больше полной энергии Е. Согласно классической механике, такие области

269
недоступны для частицы, но, как мы увидим, в квантовой механике возникает иная ситуация.

Для простоты ограничим наши рассуждения одномерным случаем: частица перемещается вдоль прямой, и ее положение определяется координатой х. Одномерная модель имеет то преимущество, что сводит не зависящее от времени уравнение Шредингера к обычному дифференциальному уравнению с одной независимой переменной. Математическое рассмотрение такого уравнения намного проще уравнения в частных производных, возникающего для двух- пли трехмерного случая. В то же время существенные особенности явления сохраняются и в простой одномерной модели.

20. Рассмотрим одномерное уравнение Шредингера (17а) для случая, когда энергия частицы ?>0:

^ 1) = \Е—у (*)№ (*> 0- (2Ш)

Зависимость волновой функции ty(x, t) от времени определяется множителем ехр(—itE/li), и можно написать

^ (х, t) = ф (х)ехр (— itE/fi). (20b)

Зависящая только от координаты часть волновой функции tp(x) удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению (20а), т. е.

—Ф М = [?—' V(jc)]q> {х). (20с)

Решив его относительно ф(а'), получим с помощью (20Ь) шредин-геровскую волновую функцию i|)(x, t).

21. Рассмотрим теперь ситуацию, приведенную на рис. 21А, где жирной штриховой линией показана полная энергия Е, а сплошная линия соответствует потенциальной функции V(x). В левой части рисунка потенциал равен нулю, а в правой он имеет постоянное значение Vo>E. Точка х0, где кинетическая энергия равна нулю, называется точкой поворота. Согласно классической механике, частица, достигнув этой точки, остановится и начнет движение в обратном направлении.Область справа от х0 недоступна для классической частицы.

Мы должны решить уравнение (20с) для потенциала, показанного на рис. 21 А. Решением ср (х) должна быть непрерывная функция от х, имеющая непрерывную первую производную. И без явного решения приведенного уравнения можно догадаться, что волновая функция ф(х) не может сразу обращаться в нуль справа от х0.

Полна* анергия

Яли^сичгски разрешенная j опасть

Классически

запрещенная

область

I 1

/очна поворота

Рис. 21А. Сплошная линия соответствует потенциальной энергии V{x), жирная штриховая линия — полной энергии Я; точка х0, в которой V{x) — E,— классическая точка поворота. В квантовой механике частица имеет конечную вероятность находиться в классически запрещенной области
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 194 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed