Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
15. Рассмотрим теперь ситуацию, когда имеются две ограниченные области пространства / и II, причем потенциальная энергия частицы в области / равна V{, а в области II равна VIr. Предположим, что за границами этих областей потенциалы быстро спада-
------?
ГХ
&
Д-----------------1—{ У— V =0
nr 1 /// // /// ш ¦
Рис. 15А. К выводу уравнения Шредингера. Прежде всего находим уравнения, которым удовлетворяют волны в областях /, II и III, где потенциал V постоянен. Обобщая уравнения (16с), (16е) и (16f), справедливые для этих областей, приходим к единственному уравнению (17а), которое является уравнением Шредингера. На графике потенциальная энергия V показана сплошной линией. Полная энергия Е в данном случае больше любого значения потенциальной энергии. Она показана жирной штриховой линией, проходящей выше кривой потенциальной энергии
266
ют до нуля. Обозначим остальную часть пространства, не входящую в области lull, индексом III. Тогда Vm=0. Такая ситуация схематически изображена на рис. 15А, где показана зависимость потенциала от координаты.
Допустим теперь, что в таком потенциальном поле сил движется частица с энергией Е (мы рассматриваем полностью нерелятивистский случай). Полная энергия Е будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий частицы (энергия покоя тс2 в выражение для энергии не включается). Согласно классической механике, кинетическая энергия частицы равна Е—Vш в области III, Е—VI в области I и Е—Vи в области II. Кинетическая энергия связана с импульсом частицы следующим образом:
Eh=p2/2m. (15а)
Полная энергия показана на рис. 15А жирной штриховой линией. Начнем с предположения, что полная энергия всюду больше потенциальной.
16. Рассмотрим теперь поведение шредингеровской волны, связанной с частицей. У такой волны частота со пропорциональна энергии: Е=%оэ, и волновая функция зависит от времени t только благодаря множителю ехр(—itE/%). Поэтому шредингеровская волна для частицы с определенной энергией Е удовлетворяет уравнению
iA^\p(x, t) =?яр(дг, f). (16а)
Пространственная зависимость волны определяется импульсом частицы: импульс и длина волны связаны соотношением де Бройля
X=h/p. Рассмотрим волну в области III при энергии, равной Е.
Волна может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн. Пространственная зависимость этих плоских волн задается экспоненциальным множителем exp (ix-p/ti), где импульс р определяется энергией
Е=р2/2т. (16Ь)
Отсюда следует, что каждая из плоских волн удовлетворяет уравнению
*) *)• (16с) Таким образом, шредингеровская волна, отвечающая частице с энергией Е, находящейся в области III, удовлетворяет дифференциальному уравнению (16с).
Рассмотрим теперь волну в области I. Будем по-прежнему считать ее суперпозицией плоских волн типа exp(ix-p/h). В согласии с (15а) импульс р теперь определяется соотношением
p2/2m = Ek — E—Vj, (16d)
9* Зак. 127
267
Отсюда следует, что шредингеровская волна в области / удовлетворяет уравнению
—|~'4^{x,t) = (E — VI)y(x,t). (16е>
Аналогично, уравнение для волновой функции в области II имеет вид
-~r^(x,t) = (E-Vn)4(x,t). (16f>
17. Доводы, которые привели нас к уравнениям (16с), (16е) и (16f) для волновых функций в областях I, II и III, кажутся правдоподобными. Заманчиво объединить эти три уравнения в одно:
t) = lE—v (лг)]т]5(лг, t)\ (17a)
здесь V(x) — потенциальная функция, принимающая значения Vj, Vu и К/я=0 в трех областях. Заметим, однако, что мы не привели никаких соображений в пользу справедливости уравнения (17а) в переходных областях, где потенциал быстро меняется. Заранее не очевидно, что уравнение (17а) здесь выполняется. Автор должен сознаться, что он умышленно вел рассуждения и рисовал кривые на рис. 15А так, чтобы привести читателя к убеждению в справедливости, например, уравнения (16е). В таких рассуждениях есть слабое место. До тех пор, пока область II очень велика по сравнению с длиной волны де Бройля, можно не сомневаться в справедливости уравнения (16е). Поведение волны в данной точке области не будет зависеть от потенциала в любых других точках, и связь между длиной волны и кинетической энергией будет именно такой, какую мы предполагали. Ситуация, однако, меняется, если область II мала по сравнению с длиной волны, т. е. если потенциал V (х) заметно меняется на длине волны. В этом случае неясно, какова должна быть пространственная зависимость волновой функции. Действительно, «длина волны» в точке х, определяемая соотношением де Бройля через кинетическую энергию Е—V (х), оказывается функцией положения.
Поэтому совершенно не очевидно, что уравнение (17а) окажется справедливым для любой точки пространства и для любой потенциальной функции V(x). Тем не менее мы предполагаем, следуя Шредингеру, что уравнение (17а) верно. Оно, по крайней мере, является разумным уравнением, описывающим свойства шредин-геровских волн, и мы подвергаем его большому числу испытаний. Заметим, однако, что до сих пор наши рассуждения отнюдь не были проверкой справедливости уравнения (17а). Они содержали лишь правдоподобные доводы в его пользу. В действительности возможно нечто лучшее. Можно исходить из квантовой электродинамики. В этом случае удается показать, что уравнение (17а), которое применяется к нерелятивистским задачам для атомов и молекул, является приближением, следующим из теории поля. Другой воз-
