Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
I _____ I ____ Хс _____
1=^/1-i-idx-/1-1*
Хс О О
1 ______ хс _ 1 ____
да jdxjZ-L-l-fj dxl/1-1-2/*,. (40с)
0 0 о
¦284
Первый член в крайней правой части (40с) может быть вычислен подстановкой x=sin20. Получаем
1 я/2
1 = 2 j dQ cos20 = у. (40d)
о о
Таким образом, интеграл в (40Ь) равен
WPi'-f -2УТ <40е»
Подставляя это значение в (40Ь) и принимая во внимание (39а), имеем
In Г жУ +}у e*Z'Rma . (40f)
41. Чтобы получить удобную для применении и прозрачную по смыслу формулу, воспользуемся некоторыми приближениями. Примем Z'--=86 и R = 7,3 ферми, что соответствует ядру '^Ra в качестве материнского ядра при а-распаде. Таким образом, мы ограничиваемся некоторыми «типичными» для всех а-активных ядер значениями R и Z'. Все «-излучатели принадлежат к очень тяжелым ядрам, и значения Z' и R для этих ядер не слишком далеки от взятых нами значений. Важным параметром в (40f) является энергия Е, которая, как мы отмечали, лежит в пределах 4—10 МэВ. Таким образом, наше приближение достаточно оправдано, особенно если иметь в виду остальные сделанные нами приближения.
Подставляя теперь в (40f) приближенные численные значения физических констант и полагая Z'= 86 и R= 7,3 ферми, получаем
log T 't-; 'il--- 32(41а)
Y Е /МэВ ’
Заметим, что выражение (41а) дает десятичный логарифм Т. Чтобы перейти к натуральному логарифму, вспомним, что logx=logex X In ЛГЯ;:0,434 In х.
Итак, мы получили общее выражение (41а) для зависимости коэффициента пропускания Т потенциального барьера от энергии а-частицы Е. Воспользуемся им, чтобы найти периоды полураспада а-излучателей.
42. С этой целью рассмотрим весьма наивную модель а-распада. Предположим, что до испускания а-частица колеблется вдоль диаметра ядра, многократно отражаясь от его «стенок». Обозначим через т0 интервал времени между двумя последовательными ударами о стенку. В каждом столкновении имеется определенная вероятность «просачивания» частицы через потенциальный барьер, равная коэффициенту пропускания Т. Таким образом, а-частица должна испытать порядка l/Т столкновений, чтобы покинуть ядро, и мы можем написать, что время жизни (или период полураспада)
285
равно
т = т0/7\ (42а>
или
log Т = log т0 + -р== -32,5. (42Ь>
Чтобы оценить т0, можно предположить, что скорость а-частицы в ядре равна ее скорости после распада. Тогда
т0 = 2R/v, v = V 2Е/та. (42с)
Для такого «стандартного» а-излучателя, как 22sRa, мы получаем т0«10-п с.
Мы видим из формулы (42с), что время т0 зависит от энергии Е и от радиуса ядра R. Величина т0 является аргументом в выражении (42Ь) для log т, и изменение первого члена с изменением Е совершенно незначительно по сравнению с изменением второго члена. Чтобы показать это в явном виде, рассмотрим, что произойдет при изменении Е от 9 до 4 МэВ. Отношение значений первого члена при этих двух энергиях равно log(3/'2)»0,18, тогда как для второго-члена это отношение гораздо больше: 148- (1/2—1/'3)«25. Поэтому можно считать, что величина т0=Ю~21 с приблизительно подходит для всех а-излучателей. Таким образом, мы приходим к выводу, что определяющим фактором в а-распаде является проникновение через барьер. Нам плохо известны процессы, происходящие в ядре до распада, но мы можем сказать, что они определяют время т0, которое можно интерпретировать как время между последовательными «попытками» а-частицы проникнуть через барьер. Время т0 зависит от материнского ядра, но кажется разумным допустить, что оно имеет примерно одинаковый порядок величины для всех а-излучателей. Во всяком случае для разумных моделей изменение первого члена в (42Ь) оказывается гораздо меньше изменения второго члена, и по этой причине наша наивная модель, которая дает верный порядок величины т0, не так плоха, как может показаться. Выражаясь более точно, можно сказать, что она может быть плохой, но это не играет большой роли.
Итак, мы можем, наконец, написать общее соотношение между временем жизни т (в секундах) и энергией а-частицы Е:
log (т/с) 53,5. (42d)
43. На рис. 43А показана зависимость периода полураспада а-излучателей от энергии Е. Штриховая линия соответствует формуле (42d). По оси ординат отложен log(т/с), а по оси абсцисс
— 1/]/?/МэВ. В таких координатах соотношение (42d) изображается прямой. На том же графике нанесены значения log т и 1 /]/Ё для известных а-излучателей, и мы можем сравнить экспериментальные данные с предсказаниями нашей теории.
