Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
A exp (ixk)-\-B exp (—ixk),
где первое и второе слагаемые отвечают соответственно волнам, бегущим слева направо и справа налево. Второе слагаемое соот-
274
ветствует отраженной волне, а первое — проходящей. Как найти коэффициенты Л и В? Для этого следует использовать два условия: непрерывность волновой функции и ее производных во всех точках, в том числе и в точке х=0. Таким образом получаем два уравнения для двух неизвестных А и В. Найдя амплитуды А и В, будем знать интенсивности падающей, отраженной и прошедшей волн, а тем самым и коэффициент отражения рассматриваемого «барьера».
-----------------------?
Рис. 28А. Энергия ? частицы больше высоты потенциального барьера. В классической теории частица проходит такой барьер не отражаясь. В квантовой механике часть падающей волны проходит, другая часть отражается барьером
%
-о
Допустим, что имеет место другая ситуация: частица движется справа налево. В таком случае волновая функция слева от барьера будет иметь вид ехр(—ixk), так как в этой области мы имеем лишь волну, распространяющуюся влево. Справа от барьера волновая функция имеет вид A'exp (ixk^+B'exp (—ixk'). Снова найдем коэффициенты А' и В' из условий непрерывности волновой функции
Рис. 29А. Для решения этой задачи еле* дует рассмотреть многократные отражения и прохождения волны в точках разрыва непрерывности х = 0 и х=а. Болс.е простой способ — найтн общее решение уравнения Шредингера и удовлетворить граничным условиям. При этом отпадает необходимость рассматривать многократные отражения
и ее производной в точке х=0. Таким образом, при заданной форме потенциала выбор волновой функции зависит от рассматриваемой задачи.
Отметим главный вывод из рассмотрения движения частицы в потенциальном поле, показанном на рис. 28А: в месте разрыва непрерывности потенциала происходит частичное отражение падающей волны и частичное ее проникновение в область за разрывом.
29. Обратимся теперь к случаю, показанному на рис. 29А. Разрыв непрерывности потенциала происходит в двух точках: х=0 и х=а. Из рассуждений предыдущего пункта следует, что в данном случае будет происходить частичное отражение и частичное прохождение волны в обеих точках.
Предположим, что мы хотим рассмотреть случай, когда частица падает на барьер слева. Читатель поймет, что это сложная ситуация. Рассмотрим волну, падающую слева, и обнаружим, что в точке х—0 часть волны отразится, а другая часть пройдет. Прошедшая волна натолкнется на второй разрыв потенциала вточкех=а и здесь частично отразится, а частично пройдет. Отраженная волна вернется в точку х=0, и снова произойдет частичное отражение и прохождение. Чтобы найти волну, распространяющуюся направо
275
-F
-О
л
от барьера, мы должны рассмотреть бесконечное число отражений в точках .г=0 и х=а и сложить амплитуды всех волн, распространяющихся направо от точки х—а.
Можем ли мы решить эту задачу? Да, можем «методом многократных отражений», но есть и значительно более простой способ ее решения. Для этого следует лишь найти такое решение уравнения Шредингера, которое всюду было бы непрерывно вместе со своей
У(л) V(jj)
Рис. ЗОА. Частица (волна) отражается барьером, так как энергия Е меньше предельного значения потенциала справа. Отражение происходит о области изменения потенциальной энергии
Рис. ЗОВ. Потенциал на рис. ЗОА заменен потенциалом, изменяющимся скачками. В каждой точке разрыва непрерывности волна частично проходит и частично отражается. Решение уравнения Шредингера учитывает все «многократные отражения»
первой производной и имело бы вид exp (ixk) для х>а. Последнее условие, в соответствии с рассматриваемой физической ситуацией, означает, что часть падающей волны, прошедшая сквозь барьер, распространяется от точки х=а направо.
Таким образом, для х>а волновая функция имеет вид exp (ixk). Для а^>х^>О волновая функция имеет вид
A exp (ixk')-\~B ехр(—ixk').
Чтобы найти коэффициенты А и В, нужно воспользоваться условием непрерывности волновой функции и ее первой производной в точке х=а. В области 0>х волновая функция имеет вид
А 'ехр (/дгА)+Д'ехр (—ixk),
и для определения А' я В' нужно использовать те же условия непрерывности, но в точке х=0. Таким способом мы найдем полное решение уравнения Шредингера (20с), отвечающее условиям рис. 29А, и найденное решение будет единственным (с точностью до постоянного множителя). Таким образом, нашу задачу можно решить без больших усилий.
30. Важно понять, что решение барьерной задачи рассмотренного типа сводится к получению решения уравнения Шредингера (20с), пригодного во всем пространстве и удовлетворяющего граничным условиям, определяемым физической ситуацией, например условию, что справа от барьера волна должна иметь вид exp (ixk). Такой способ получения решения автоматически учитывает «многократные отражения», о которых мы рассуждали, основываясь на физической интуиции. Нашу задачу можно попытаться решить,
