Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
278
На рис. ЗЗА схематически показан барьерный эффект. В верхней части рисунка приведен потенциал, а в нижней — модуль квадрата волновой функции. Прошедшая волна оказывается бегущей вправо волной с комплексной амплитудой. Модуль амплитуды есть величина постоянная, что и показано на рисунке.
Полная анергия
Рис. ЗЗА. Схема, иллюстрирующая туннельный эффект. Обратите внимание на прошедшую волну и на ее экспоненциальное затухание в пределах барьера. Слева от барьера мы имеем несовершенную стоячую волну. Амплитуда отраженной волны меньше амплитуды падающей, и суммарная амплитуда нигде не обращается в нуль
\V(X)
-Е
-О
vA/WVKi
Падающая и отражен-лая волны
Прошедшая
волна
34. Прежде чем перейти к физическим приложениям рассмотренной теории квантовомеханического туннельного эффекта, следует указать на его аналогию в классической электромагнитной теории. Речь идет об отражении плоской электромагнитной волны от плоской поверхности раздела двух сред с различными показателями преломления.
Оптически менее плотная среда.
Рис. 34А. Полное отражение плоской электромагнитной волны иа поверхности раздела двух сред с различными показателями преломления. Падающий и отраженный лучи показаны
штриховыми линиями
Рис. 34В. Классическая электромагнитная теория предсказывает, что волна, падающая на тонкий слой под углом, большим критического угла полного отражения, частично проходит и частично отражается. Это явление аналогично квантовомеханическому туннельному эффекту. Падающий, прошедший и отраженный лучи показаны штриховыми линиями
Рассмотрим плоскую волну, падающую на границу, разделяющую две среды с различной оптической плотностью. Пусть волна (рис. 34А) падает из оптически более плотной среды в среду менее плотную, т. е. в среду с меньшим показателем преломления. Предположим, что угол падения больше угла полного отражения и что менее плотная среда простирается до бесконечности влево от поверхности раздела. В этом случае происходит полное отражение волны, схематически показанное на рис. 34А, где штриховой линией показан «луч», т. е. нормаль к плоскому фронту волны. Несмотря на то, что волна не может проникнуть в менее плотную среду, элек-
279
трическое поле вблизи от поверхности раздела не равно нулю: поле в эту среду проникает, но по мере перехода влево от поверхности раздела амплитуда поля экспоненциально уменьшается. Ситуация полностью аналогична квантовомеханической задаче, рассмотренной в п. 22—25.
Обратимся теперь к рис. 34В. Здесь оптически менее плотная среда представляет собой тонкий слой между двумя более плотными средами. В этом случае волна, падающая на границу справа, частично отражается, но малая доля волны все же проникает через «запрещенную область» и распространяется в более плотной среде в виде бегущей влево волны. Ситуация аналогична квантовомеханическому проникновению через барьер. Заметим, что мы не нарисовали «лучей» в запрещенной области. Действительно, здесь «лучевая оптика» неприменима: волновой вектор имеет комплексное значение.
Рассмотренное явление полностью объясняется классической электромагнитной теорией. В ситуации, показанной на рис. 34В, коэффициент прохождения очень мал, если толщина оптически менее плотной среды намного больше длины волны падающего излучения. При уменьшении толщины коэффициент прохождения возрастает, достигая значения, равного единице, при толщине, стремящейся к нулю.
\] Т)
к
5 1
¦?
О
Рис. 35А* Как получить выражение для коэффициента пропускания такого барьера?
Рис. 35 В. К выводу приближенного выражения для коэффициента пропускания барьера (рис. 35А). Заменим непрерывно меняющийся потенциал приближением из ряда ступенчатых барьеров. Полный коэффициент пропускания равен произведению коэффициентов пропускания для всех ступенчатых барьеров. Отметим приближенный характер этого метода — не учтены многократные отражения
35. Обобщим наши рассуждения о квантовомеханическом туннельном эффекте. Вместо показанного на рис. 31А прямоугольного потенциального барьера рассмотрим барьер произвольной формы (рис. 35А). Пусть слева на барьер падает волна с энергией Е. Волна частично отразится, частично пройдет через барьер. Нас интересует прежде всего полный коэффициент пропускания барьера, и, чтобы найти его точное значение, нужно решить уравнение Шредингера для потенциала V(x). Воспользовавшись методом, рассмотренным в п. 32 и 33, можно, однако, получить приближенное выражение для Т. Такое приближение тем лучше, чем меньше длина волны по сравнению с шириной барьера.
Чтобы получить приближенное значение величины Т, вообразим, что область потенциального барьера разделена на несколько малых областей, как показано на рис. 35В. Заменим в каждой ма-
