Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
270
В соответствии с вероятностным истолкованием волновой функции» это означает отличную от нуля вероятность обнаружить частицу в области справа от х0. Таким образом, квантовая механика предсказывает, что частица может проникать в область, запрещенную классической механикой.
22. Рассмотрим это явление более подробно. Чтобы еще больше упростить ситуацию, заменим потенциал на рис. 21А ступен- Лолна ия
чатои функцией на рис. 22А, а -----------------
начало координат поместим в
-? -О
точку поворота, так что х0=0. _________________
В этом случае Классическиразре- Нлассичвс.
шенная область запрещенная
V (х) =0 для х <С 0, ¦ ха V область
V(x) = V0 > Е для *>0. (22а) Точка поворота
' Рис. 22А. Чтобы упростить вычисления, не*
Потенциал, показанный на прерывный П0Т“^“еа1^1ча"цМрис'21А заменев рис. 22А, можно считать предельным случаем потенциала, изображенного на рис. 21А. Если этот потенциал растет все более и более круто, то в пределе получается идеализированная ситуация, показанная на рис. 22А. Пока потенциал является непрерывной функцией, волновая функция остается непрерывной и имеет непрерывную первую производную. Это свойство сохраняется и в предельном случае ступенчатого потенциала. Однако в последнем случае вторая производная волновой функции может испытать «скачок». Заметим, что все эти утверждения о поведении волновой функции и ее производных являются математическими утверждениями о свойствах дифференциальных уравне-
ний, возникающих в теории Шредингера. Как физики, мы должны считать ступенчатый потенциал идеализацией реального потенциала. При такой точке зрения не возникает сомнения в том, что физическая волновая функция должна удовлетворять перечисленным выше требованиям.
23. Обратимся к области л>0. Здесь волновое уравнение имеет вид
(*) = (? — ^0)Ф (*)> (23а)
и мы без труда можем написать два линейно независимых решения:
exp (—xq), ехр( + Л(7), где q = V 2т (V0— Е)/А2. (23Ь)
Решение ехр(+^</) растет экспоненциально с ростом х, то же происходит и с квадратом его модуля. Согласно нашей вероятностной интерпретации волновой функции, такой рост означает, что плотность вероятности обнаружения частицы неограниченно растет с ростом координаты х. Это решение физически неприемлемо. Здесь мы имеем другой пример граничных условий, которым должно удовлетворять решение волнового уравнения, имеющее физический смысл: решение, неограниченно возрастающее на бесконечности, должно быть отброшено. Таким образом, остается единствен-
271
но возможное решение ехр(—ixq), и если мы обозначаем волновую функцию в области х>0 через q>R(x), то
Ф к (*) = ex р (—xq). (23с)
24. Рассмотрим область х<.0. Здесь уравнение Шредингера имеет вид
—(24а) Два линейно независимых решения уравнения (24а) могут быть записаны в форме
exp (ixk), exp ( — ixk), где k = V 2mE/fi2-, (24b)
они представляют собой осциллирующие функции и не возрастают при х, стремящемся к — оо. Оба решения физически приемлемы *),
и, обозначая через <p?(*) волновую функцию в области слева от х=0, имеем
<pL(x)=A exp(ixk)+B ехр(—ixk), (24с)
где А и В — постоянные, которые нам предстоит найти.
Мы утверждали, что волновая функция и ее первая производная должны быть непрерывны. Таким образом, функции фк(х) и (х) должны быть подогнаны друг к другу так, чтобы
•фя(0)=ф?(0), фИ0)=фН°)- (24d)
Действительно, обе эти функции представляют собой одну волновую функцию, заданную в двух различных областях, которые соединяются в точке поворота х=0. Два условия (24d) дают два уравнения:
А-\-В = 1, ik(A—В)=—q, (24е)
решая которые можно определить постоянные А и В:
А = 1 + W*' в=1-(24f)
25. Нам будет легче интерпретировать полученное решение, умножив волновую функцию на коэффициент 1IA. Такое умножение возможно, ибо уравнение Шредингера — линейное уравнение. Итак, явное выражение для полученного решения имеет вид
Ф(х) = eixk + 1"t^1/°/е-ixk для х<0, (25а)
Y ' 1 +if Vo/E-l
<р(*) =--- • . для А-, О, (25Ь)
’ 1+<У VBIE-\ к '
где
k = V 2mEfo, q = yr2m(V0—E)/fi2. (25cl
*) Если читатель удивлен этим утверждением, то советуем ему обратиться к п. 51 настоящей главы.
272
Рассмотрим теперь выражение (25а), определяющее волновую функцию в области х<.0. Она образована суперпозицией двух волн. Первое слагаемое ехр(гхА) соответствует волне, распространяющейся вправо, а второе, пропорциональное ехр(—ixk),— волне, бегущей влево. Множитель перед экспонентой во втором слагаемом имеет модуль, равный единице: