Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вихман Э. -> "Квантовая физика" -> 139

Квантовая физика - Вихман Э.

Вихман Э. Квантовая физика — М.: Наука, 1972. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayafizika1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 194 >> Следующая


276
рассматривая многократные отражения, но гораздо проще непосредственно найти общее решение уравнения Шредингера.

Рассмотрим потенциальный барьер, показанный на рис. ЗОА. Где должно произойти отражение частицы? Оно «происходит» во всей области пространства, в которой меняется потенциал. При желании непрерывно меняющийся потенциал V (х) можно аппроксимировать функцией с большим числом малых скачков, как показано на рис. ЗОВ. На каждом скачке потенциала волна частично проходит и частично отражается, и мы снова можем считать, что имеем дело с «задачей о многократном отражении». Уравнение Шредингера (20с) описывает все эти многократные отражения, и его решение можно при желании интерпретировать таким образом: найдя общее решение уравнения Шредингера (20с), мы сразу учтем все бесконечное число локальных отражений и прохождений.

31. Рассмотрим теперь другую задачу, которая следует из предыдущей. Что происходит, если потенциал имеет вид, показанный на рис. 31А, а высота барьера V0 больше полной энергии Е?

'яещьшьти

барьер

Ло/.иая тергия

Рис. 31А. Б классической теории частица пришедшая слева, не может пройти через барьер. В квантовой механике у частицы имеется конечная вероятность «просочиться через барьер». Это явление называется «туннельным эффектом»

%

| л I

<27- а

т

-?



Ответ легко угадать: волна, падающая слева, частично отразится, а частично сможет пройти через барьер в область III. С классической точки зрения частица, находившаяся в области I, отразится в точке х=0 и не сможет пройти в области II и III. Согласно квантовой; механике, частица может «просочиться через барьер», абсолютно непрозрачный с классической точки зрения; это одна из наиболее замечательных особенностей квантовой механики. Рассматриваемое явление называется туннельным эффектом.

Чтобы получить решение уравнения Шредингера для ситуации, показанной на рис. 31А, можно поступить так, как рекомендовалось в п. 28—30. Найдем общее решение для каждой из трех областей /, II и III, а затем используем условия непрерывности волновой функции и ее первой производной во всем пространстве и, в частности, в точках х=0 и х=а. Таким образом, барьерная задача, показанная на рис. 31А, в принципе нетрудна, но требует некоторых трудоемких вычислений. К счастью, можно постичь ее существенные особенности и без таких вычислений. (С ними можно познакомиться в более подробном курсе или выполнить эту задачу в качестве домашнего задания, см. также задачу 2.)

32. Рассмотрим решение для частного случая, когда частица падает на барьер слева. Она частично отражается барьером, час-

277
тично «просачивается» через него. Это означает, что в области III решение имеет вид exp (ixk), соответствующий частице, движущейся направо. В области / мы имеем обязательно две волны: одна распространяется влево, другая направо. Первая из них является отраженной волной, а вторая — падающей. Таким образом, волновая функция в области / имеет вид

Ф (х) =eixk + Ае~‘хк, где k=V 2mE[fl2\ (32а)

здесь А — постоянная, определяющая амплитуду отраженной волны. Модуль А меньше единицы, так как часть падающей волны проникает через барьер.

Внутри барьера волновая функция имеет вид экспоненты

Ф (х) « В exp (—xq), q = V2т (К,—E)/ft2; (32b)

здесь В — постоянная. Эта волновая функция является лишь приближением, которое, однако, справедливо для не слишком низкого барьера.

Допустим, что aq велико по сравнению с единицей. В таком случае отношение ф(а)/ф(0)»ехр(—aq) для волновой функции (32Ь) будет малым числом. Вспомнив процесс согласования двух решений в точке поворота, рассмотренный в п. 24, мы поймем, что модуль отношения амплитуд в областях III и / должен быть близок к отношению ф(а)/ф(0)=ехр(—aq). В действительности это отношение не исчерпывается простым экспоненциальным множителем, но если aq^> 1, т. е. если барьер высок и широк, то экспоненциальный множитель является определяющим.

33. Мы считали, что амплитуда падающей волны равна единице. В области /II амплитуда волны гораздо меньше. Ее величина (точнее— порядок величины) приближенно равна ехр(—aq). Квадрат Т модуля амплитуды имеет простую физическую интерпретацию. Он равен вероятности того, что падающая на барьер частица пройдет через него:

Т= |ф (а) |2~ехр (—2aq), (33а)

или, имея в виду второе выражение (32Ь),

Т ~ exp | — 2а j/2m {V^~] j.. (33b)

Величина T называется коэффициентом пропускания барьера. Наша грубая оценка этого коэффициента [формула (ЗЗЬ)] основана на весьма простом факте, а именно на приблизительно экспоненциальном уменьшении амплитуды волны справа в области барьера. Нас интересовал прежде всего случай большого aq, т. е. малого коэффициента пропускания Т. Можно, разумеется, вычислить точное значение Т; тогда в выражении (ЗЗЬ) появляется дополнительный множитель. Порядок величины Т определяется, однако, экспонентой, и для наших целей выражения (ЗЗЬ) совершенно достаточно.
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 194 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed