Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
= t). (11а)
В этом уравнении индекс S у волновой функции опущен. В дальнейшем мы будем иметь дело только со шредингеровской волновой •функцией, и в индексе нет необходимости.
Уравнение (11а) является волновым уравнением Шредингера для свободной частицы. Оно описывает движение такой частицы в нерелятивистском приближении. Сравнивая (11а) с релятивистским уравнением (37е) гл. 5, замечаем, что уравнение (11а) содер-
264
(10d)
(Юе)
жит лишь первую производную по времени. Кроме того, в согласии с нерелятивистской природой уравнения Шредингера, в нем нет места для скорости света.
12. Рассмотрим решение уравнения Шредингера (11а) в виде плоской волны (10d). Фазовая скорость vf такой волны равна
vf = (alk — pl2m, где (а = р*/2т%, k = pl%. (12а)
С другой стороны, фазовая скорость vs волны де Бройля (в нерелятивистском приближении) согласно (Юс) равна
тс1 . р ,
(12Ь)
Обе фазовые скорости vf и vf не равны друг другу, хотя две волны
и должны, по нашим предположениям, соответствовать одной и той же физической ситуации. У нас нет, однако, оснований для тревоги: фазовая скорость — это совсем не то, что скорость частицы, и фазовой скорости не отвечает нечто наблюдаемое. С другой стороны, групповая скорость v для волны Шредингера равна
l/v = dk/dto = m/p, (12с)
и эта скорость действительно равна скорости частицы, как и должно быть. Мы уже отмечали в гл. 5, что групповая скорость волны де Бройля равна скорости частицы. Таким образом, оба типа волн распространяются с одинаковой групповой скоростью.
13. Попытаемся сейчас продвинуться на шаг дальше и рассмотреть движение частицы под действием внешних сил, имеющих
потенциал. Обозначим потенциальную энергию, или потенциал, частицы через K(Jf): потенциал зависит от координат, но не от времени.
У читателя могут возникнуть сомнения в связи с появлением в квантовой механике потенциала, определяющего силу. Силы, испытываемые частицей, вызваны, разумеется, присутствием других частиц, и согласованная теория требует квантовомеханического описания всей системы частиц. Все частицы в данной физической ситуации должны быть описаны волнами де Бройля, и фундаментальная теория взаимодействия частиц должна быть теорией, рассматривающей взаимодействие между этими волнами. Именно такое фундаментальное описание взаимодействия характерно для квантовой теории поля. Согласно этой теории, волна де Бройля, описывающая, например, электрон в атоме водорода, взаимодействует с квантованным электромагнитным полем, которое в свою очередь может взаимодействовать с волной де Бройля, описывающей протон. В такой теории взаимодействие электрона с протоном не является прямым процессом; оно осуществляется квантованным электромагнитным полем. Мы говорим, что взаимодействие происходит благодаря обмену фотонами.
В данной главе, однако, мы останемся в рамках приближений, характерных для теории Шредингера, и будем работать не с фундаментальной, а с феноменологической теорией. Нас интересует
9 Зак. 127
265
лишь движение единственной частицы, и действие всех других частиц разумно описать с помощью эффективного потенциала V(х)¦ В выборе такого потенциала путеводной нитью будет аналогия с классической физикой.
Идея о введении потенциальной функции становится особенно ясной, если рассмотреть движение заряженной частицы в макроскопическом электрическом поле, созданном проводящими телами, подключенными к батареям. В этом случае движение электрона с высокой степенью точности описывается классической теорией и траектория частицы определяется электростатическим: потенциалом, созданным системой проводников. На языке квантовой теории
поля электрон обменивается фотонами со всеми заряженными частицами в проводниках. Интуитивно, однако, ясно, что конечный эффект такого «обмена фотонами» может быть описан через электростатический потенциал, «ощущаемый» электроном в каждой точке пространства.
14. Идея об эффективном потенциале в теории Шредингера во многих отношениях аналогична идее о показателе преломления в классической оптике. Хорошо известно, что в микроскопическом масштабе стекло, которое состоит из атомов, не является однородной средой. Описывая распространение в стекле световой волны (фотона) в рамках фундаментальной теории, мы должны были бы рассмотреть взаимодействие волны со всеми атомами стекла. Если, однако, можно ограничиться феноменологическим описанием распространения света через стекло (которое может быть, например, частью оптической системы), то суммарный эффект элементарных взаимодействий можно заменить некоторым эффективным показателем преломления. Как мы указывали, оптический показатель преломления в большой степени аналогичен потенциалу в теории Шредингера, и такая аналогия помогает понять теорию. Вспомним, однако, что описание электромагнитных свойств твердого тела с помощью показателя преломления имеет свои ограничения. Аналогично, в некоторых физических ситуациях взаимодействия между элементарными частицами не могут быть полностью описаны потенциальной функцией. Такая функция имеет смысл лишь в тех случаях, когда выполнены два основных допущения теории Шредингера.
