Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
= L2 (dP) случайных величин, интегрируемых в квадрате, такое, что
1) отображение I линейно',
2) для любого множества А из полукольца I(Ха) — ?(Л) (разумеется, почти наверное: ведь речь идет о пространствах L2);
3)1 — изометрическое отображение; то есть скалярное произведение 1(f) и 1(g) совпадает со скалярным произведением (в другом пространстве) f ug:
М I(f)I (g)= \f(x) g(x)m(dx). (1)
*
54
Это отображение и есть стохастический интеграл; его обозначение:
f(f)-]f(xn(dx). (2)
х
Обозначение 1(f) вместо обозначения со знаком интеграла мы ввели пока что для краткости, потому что при доказательстве теоремы нам придется его слишком часто употреблять.
Доказательство теоремы. Выделим сначала единственную собственно теоретико-вероятностную часть доказательства, в которой будет использоваться то, что s4- — полукольцо.
Лемма. Для любых А, В е имеем: Mi {А) ? (В)= = т{А(]В).
Доказательство. По определению полукольца, А П В е s&, а разности Л \ В = Л \ (Л f| В), В \ А представляются каждая в виде конечной суммы непересекающихся множеств из s?\ А \ В=Л, U • • • U Ak, В\А = В1 U ••• \JB[. В силу конечной аддитивности почти наверное ? (Л) = | (Л П В) + КЛ^ +.. .
... +|.(Л*), 1(в) = &(Д Л ?) + №)+ ... +1(Я/).
Дальше:
тШ(В)=--М(1(Л[)В) + 1(А1)+ ... +?(Л*))Х Х(МЛПВ) + &(В,)+ ... +g(B/)) =
I
= м | g (Л n fi) Р+ Z МКЛПВ)^в;.) +
/=1
k k I
+ Z тшклпв) + Z Z тмЩ).
i = l i = l /= i
Здесь первое слагаемое — дисперсия §(Af]B), то есть т(А{]В)\ следующие слагаемые — ковариации значений ? для непересекающихся множеств, и они равны 0.
Продолжим доказательство теоремы. Определим отображение / сначала на простых функциях, т. е. на линейных комбинациях индикаторов множеств из $1. Совершенно очевидно, что, если мы хотим, чтобы выполнялись требования 1) и 2), нам ничего не остается
делать, как положить
I (.Е С/Хл,) = Е Cil (Л,). (3)
Раз ничего не остается, та^.и сделаем это. — Однако всё не совсем так просто. Может быть, кроме этого ничего не остается, но и этого сделать мы не можем! Нужно еще доказать корректность определения (3). Дело в том, что, во-первых, одну и ту же функцию f мы можем представить в виде линейной
П
комбинации индикаторов по-разному: / = Е сДл =
t = I t
п'
— Е с'{1а) в этом случае, чему же мы должны
положить равным 1(f), сумме Е cil(Ai) или ЕС/?(Л'.)? Нужно, чтобы они совпадали хотя бы
как элементы L2(Q, SF, Р), то есть почти наверное. Во-вторых, если говорить точно, это должно быть отображение не из пространства функций f, а из L2 (X, Зв, т) — пространства классов эквивалентных друг другу функций-, так что, если Е С(ХЛ совпадает
I
с Е с'-Х ’ лишь почти всюду, случайные величины
} А.
]
Е ctl(At) И Е с% (Л^) должны совпадать с вероятностью 1.
Предлагается самостоятельно проверить эту корректность в частном случае:
Задача 1. Пусть %А + %А =хл'+2хл'- Докажите, что ?(Л,) + ! (Л2) = ? (Л') + 2?(Л') почти наверное, предполагая для простоты, что полукольцо S& — алгебра.
Теперь, когда вы сами решили задачу 1 (или хотя бы запутались в ее решении), самое время изложить общее доказательство корректности. Однако мы сначала проверим равенство (1) —пока только для простых функций f, g. Собственно говоря, мы пока не имеем права говорить об 1(f), 1(g) (не проверена корректность построения отображения /), так что мы для / =Е Ci%Ai, g=E djtB, просто проверим
56
равенство
М2>&(Л,)?^(В,) =
у
= 5 Yu CitAi ^ Y di%Bi M m (dx^- (4)
X i I
Левая часть —это сумма Y Cidjb/ll (Л,-) | (S;) —
i. у
= X Cidjtn (Ai fl S;) согласно доказанной лемме. Этому <¦ у
же, как нетрудно видеть, равна и правая часть.
Теперь вернемся к установлению корректности
определения (3). Пусть Y с; гА_ (*)= Y с'-Хл' М ПРИ
i i if
почти всех х относительно меры т. Применим равенство (4) к сумме Y су (х)— Yu c'jXA'(x):
м
2>ж)-2>ж:
I /
= S Y ~ Y с/>ц(х)
tn(dx) = 0.
Значит, Z (Лг) — Z с/? (^/) почти наверное равно ^ /
0, и корректность доказана. Попутно проверена изо-метричность отображения / на множестве простых функций (а свойства 1), 2) и проверять нечего: отображение так и строилось, чтобы они были выполнены).
Итак, у нас имеется изометрическое (а значит, и взаимно однозначнее) соответствие между множеством простых функций в гильбертовом пространстве L2(dm) и некоторым подмножеством пространства L2(dP). Это соответствие единственным образом продолжается по непрерывности на замыкания этих множеств: функции f^L2(dm), являющейся пределом
