Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
виде суммы двух некоррелированных приращений по меньшим промежуткам. Если s < А) < t, то
M^t-Ss|2=M|it-StJ2 + M|Ste-Ss|2 = F(0-F(s).
Легко понять, что процесс с некоррелированными приращениями тогда и только тогда непрерывен (непрерывен справа, соответственно слева), когда непрерывна (непрерывна справа, слеза) функция F. Пределы в среднем квадратическом на +оо или на —оо существуют тогда и только тогда, когда F(-\-oo) <
оо, соответственно F(—оо) >- —оо.
Задача 2. Докажите, что любой процесс с некоррелированными приращениями с нулевым математическим ожиданием имеет пределы в среднем квадратическом слева и справа в любой точке tо ^ Т.
5. Теорема 2. Пусть %t-—процесс с некоррелированными приращениями с нулевым математическим ожиданием, определенный на отрезке числовдй прямой от а до Ь, включая эти концы или нет (а, b могут быть равны —оо, +оо); М|1*2 — lti\2 = F (t2) — F(t}). Предположим, что ^ непрерывно справа в среднем квадратическом. Обозначим через m конечную или о-конечную меру на рассматриваемом от-
rn
резке, соответствующую функции распределения F m(tu t2] = F(t2) — F(t\).
Тогда существует случайная мера |(А), определенная на борелявских^одмножествах А отрезка от a cto о без левого конца с ш(А) < оо, такая, что ?(7,, /2]=|ь — |(i, и единственное линейное изомет-ричное отображение I из L2(dF) в L2.(dp) такое, что
1(%«и ^з]) ?^2 ^1 ¦
Для этого отображения используется обозначение
ь
I(f)=\f(t) dlt.
а
Доказательство — непосредственное применение теоремы V; в качестве si- берется полукольцо всех полуинтервалов (tu t2), входящих в промежуток от а до Ъ. Легко видеть, что случайная функция множества |(А), определяемая для полуинтервалов А — = (V ^2] как удовлетворяет нужным усло-
виям; в качестве отображения 1(f) берется стохастический интеграл относительно случайной меры с некоррелированными значениями 5(Л).
В частности, для винеровского процесса опреде-
t-2 00
лены стохастические интегралы ^ f(t)dwt, ^ f(t)dwt
о
(первый — для f^L2(t\, t2], второй — для f<^L2(О, оо)) и случайная мера w(A), определенная на множествах конечной лебеговой меры.
Заметим, что реализации случайной меры совершенно не должны быть счетно-аддитивными функциями множества (зарядами). Это видно на примере случайной меры w(A): для почти всех ее реализаций функция szj((0, t], со) = Wt(ai) имеет неограниченную вариацию на любом отрезке; тогда как для любого заряда v на правой полупрямой его функция распределения v(0, t], 0^ t <i 00, имеет ограниченную вариацию на любом конечном отрезке.
6. Менее элементарные свойства стохастических интегралов. В следующих двух задачах |(Л) —случайная мера с некоррелированными значениями на множествах А из сг-алгебры ЗЁ, для которых m(A) < оо; Mg (Л) = 0, Dg (Л) = т (Л).
Задача 3. Пусть f—фиксированная измеримая функция (X, 8Ё). Определим случайную функцию множества
Т1 (А) = f (х) I (dx)
А
61
на множествах для которых п (Л) = ^ | f (х) |2 т (dx) < оо.
А
Докажите, что Т1(Л)—также мера с некоррелированными значениями с нулевым математическим ожиданием и Dt) (Л) = п (Л). Если g^L2(dn), то почти наверное
jj ? (х) Т] (dx) = ^g(x)f (х) I (dx). х х
Задача 4. Пусть функция f(x, у) (х изменяется в множестве X, у— в конечном отрезке [а, 6]) при любом х непрерывна по у, а при любом у измерима по х; причем
X
Тогда почти наверное
max | f (х, у) р т (dx) <
а < у < Ь
г b “I Ь
^ jj f (х, у) dy | (dx) = Ij Г ij f (x, y) | (dx) 1 dy X L„ J a Yx J
(последний интеграл понимается в среднем квадратическом).
Задача 5. Пусть |< — непрерывный справа в среднем квадратическом процесс с некоррелированными приращениями на отрезке [а, b\, M|f = 0, D (?(г — |г_) — F (t2) — F Пусть функция f(t) непрерывна на [а, Ь]. Тогда Ь п— 1
Jf«) = f(S(.)(it. + 1-i,.)
a i = 0
при измельчении разбиения а = to < ti < ... С < tn = b (si — произвольная точка между ti и ti+i).
Из результата задачи 5 легко вывести правило интегрирования по частям: если f непрерывно дифференцируема, то
Ь Ь
\ f (0 dlt = f(b)lb-f (a) ia - J ltr (t) dt a a
(последний интеграл — в среднем квадратическом).
Г л а в а 3
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ И КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 3.1. Связанные со случайной функцией с-алгебры и пространства случайных величин
