Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
совместное распределение можно, зная совместные
1 п
распределения \t , \t , ....\t , \t h при малых hv h
1 iT'M n n 1 n
т. e. 2п-мерные распределения самого процесса. При этом можно
найти также совместное распределение ?*.....>?/>•••>?*
1 п 1 п
как слабый предел распределений -ц)Л,/ =
= 1.гс). Точно так же можно найти совместные распределения
значений ?(, \t, ?,'{ в п точках, но только здесь не обойтись 2и-мерными распределениями процесса (вопрос к читателю: достаточно ли Зи-мерных распределений?). Итак, все такие задачи разрешимы, но могут быть довольно громоздки.
Задача 14*. Пусть двумерные распределения Ще случайного процесса ?/, 0 t ^ 1, задаются при s ф t плот-
44
Pt s{x, у) =
H ОСТЬЮ _____ ______
(я \t — s I )_1/(V 1 — x2 Vl — У2). если I x I, I у | < 1» | arcsin x + arcsin у | > я — \t — s |;
(2n\t — s|)_l/(Vl — *2Vl — У2), если | jc I, | ?/1 < 1, [ arcsin x + arcsin у|^я — |f — s|. | arcsin x — arcsin у | < 11 — s |; О в остальных случаях.
Докажите, что этот процесс дифференцируем в среднем квадратическом. Найдите распределение %t.
Задача 15. Пусть ?; — гауссовский стационарный процесс с корреляционной функцией К(т) = 1/(1 +т2), М^ = 0; он дифференцируем в среднем квадратическом. Найдите совместное распределение ?0, |0.
4. Теперь обратимся к интегрированию. Как опре-ь
делить ^tdf? Если случайный процесс непрерывен
а
в смысле выбранного вида сходимости, интеграл естественно определить как предел интегральных сумм
й
при измельчении разбиения а = to < ti < ...
. .. С tn-1 < t„ — b в смысле соответствующей сходимости, где Si — произвольная (не случайная!) точка между ti и ti+ь
Оказывается, как и в случае дифференцирования, здесь все хорошо в случае сходимости в среднем (р ^ 1) и плохо для сходимости по вероятности, что показывают следующие две задачи.
Задача 16. Докажите, что если процесс не-
ь
прерывен в среднем на [а, Ь], то существует ^ dt
а
в смысле сходимости в среднем.
Задача 17. Пусть Т = [0, 1], т — случайная величина, равномерно распределенная на этом отрезке; It = 0 при и = 1/(t — т) при t > т. Дока-
жите, что этот процесс стохастически непрерывен на 1
отрезке [О, 1] , a J \t dt в смысле сходимости по ве-
о
роятности не существует.
45
При решении задачи 16 можно повторять доказательство интегрируемости числовой функции, используя равномерную непрерывность (см. задачу 6); только нужно выбрать доказательство, не использующее верхних и нижних сумм, а состоящее в непосредственной проверке выполнения условия фундаментальности. Соответствующая микротеорема справедлива в любом банаховом пространстве.
Разумеется, можно определять несобственные интегралы в среднем как пределы соответствующих интегралов по меньшим отрезкам; теория здесь совершенно аналогична той части теории римановых интегралов, которая не использует понятий, связанных с неравенствами между числами (а только между абсолютными величинами, чему в банаховом пространстве соответствуют нормы). Например, если функция непрерывна в /^-среднем на интервале (0, оо) и
оо
5 (M|g, пир < со , то существует несобственный ин-
0
оо
теграл ^ ^ dt в смысле сходимости в среднем в сте-
о
пени р.
Выполнены также теоремы о дифференцировании интеграла от непрерывной функции по верхнему пре-
ь
делу или о дифференцировании интеграла ^F(t, s)lsds
а
по t и т. п.; имеет место формула Ньютона — Лейбница.
Пользуясь этим, мы можем получить новые примеры дифференцируемых в среднем случайных функций; например, если It ¦— пуассоновский процесс, то t
для = имеем ^ = 1,-
о
Определение интеграла в среднем никак не связано со свойствами реализаций случайной фунйции: реализации интегрируемой в среднем случайной функции могут быть неинтегрируемы. Если все (или почти все) реализации интегрируемы, то все равно мы должны различать, с одной стороны, интеграл в среднем — ь
обозначим его (Lp) [ltdt — случайную величину, определяемую
46
как предел в среднем интегральных сумм; с другой стороны, функцию, ставящую в соответствие элементарному событию to
ь
значение интеграла вдоль траектории ^ (со) dt (мы не можем,
а
