Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
31
В этой книге (§ 5.4) будут затронуты только простейшие вопросы развитой здесь содержательной и плодотворной теории; в частности, нам не удастся разобрать пример, связанный с задачей 7 § 1.2.
б) Для исследования зависимости в теории случайных процессов развит специальный аппарат. Этот аппарат в его теоретико-множественной части связан с а-алгебрами, в собственно теоретико-вероятностной части — с условными вероятностями и еще более с условными математическими ожиданиями относительно ст-алгебр.
Прежде всего, это различные семейства а-алгебр, связанные со случайным процессом (см. § 3.1). Для случайных процессов существенна зависимость между будущим и прошлым — некоторые из вводимых cr-алгебр конкретизируют неопределенно-интуитивное понятие будущего, другие — прошлого, что позволяет дать точные формулировки задач о зависимости между ними.
Далее, оказывается, что характер зависимости будущего от прошлого, имеющий место, если под настоящим понимать произвольный фиксированный момент времени, может измениться, если настоящее — случайный момент времени. В связи с этим вводится класс случайных моментов времени, называемых марковскими моментами. Теоретико-множественная (еще не связанная с вероятностями) часть аппарата для учета зависимости от прошлого развита в гл. 6.
Более сложная и содержательная часть этого аппарата состоит в использовании при исследовании случайного процесса различных вспомогательных случайных функций; причем сни выбираются так, чтобы они принадлежали специальным классам случайных функций — мартингалам (или суб-, или супермартингалам). Здесь имеется также специальный аппарат, позволяющий немного подправлять случайные функции, чтобы превратить их в мартингалы; это—аппарат компенсаторов.—Об этом речь пойдет в гл. 7.
3. Молено изучать |<(<о), t е Т, © е Q, как любую функцию двух переменных. К функциям двух переменных относится, в сущности, только одна общая теорема — теорема Фубини; однако она составляет обоснование приема замены математического ожидания интеграла интегралом от математического ожидания, который позволяет получить большое число серьезных результатов.
Этот нрием—в более простом варианте замены математического ожидания суммы суммой математических ожиданий — с успехом применяется в элементарной теории вероятностей; так, в применении к математическому ожиданию биномиального распределения он дает п-(0-q -f- 1 -р) вместо более сложного YJk-Cknpkqn'k.
32
Важным понятием, относящимся к этой области, является измеримость случайной функции.
Пусть на Т задана ст-алгебра 5Г\ случайная функция it называется измеримой, если функция ?<(со) измерима по паре (/, со) относительно ст-алгебры
X ¦ Если Т счетно, то любая случайная функция автоматически измерима (в качестве 3~ берется ст-алгебра всех подмножеств Т). При несчетном Т для измеримости случайной функции недостаточно, чтобы ?г(со) при любом фиксированном t было iF-измеримо (это выполняется автоматически), а при любом фиксированном со ^"-измеримо по t (хотя это и необходимо). Достаточное условие измеримости дает следующая задача.
Задача 4. Пусть Т — отрезок числовой прямой (или интервал, или полуинтервал), °Г = 9$т— система борелевских подмножеств Т. Пусть X — метрическое пространство, 86 = $х — ст-алгебра его борелевских подмножеств, It, (еГ, — случайный процесс со значениями в (X, $х)- Докажите, что для измеримости процесса достаточно, чтобы все выборочные функции были при всех t непрерывны справа (или слева).
Следующая микротеорема — приспособление к случайным функциям теоремы Фубини и в доказательстве не нуждается.
Микротеорема. Пусть It, t^T, — измеримая (относительно а-алгебры °Г на Т) случайная функция-, [I — мера на (Т, 3~). Пусть хотя бы один из интегралов ^ М | lt | (я (dt) или М ^ | It I Р- (dt) конечен. Тогда т т
М $ (d/) = $ Мhn(dt).
т т
Рассматривать свойство измеримости случайных функций приходится не только в связи с теоремой Фубини.
Задача 5. Пусть ?/, <еГ, — случайная функция; на множестве Т задана а-алгебра 2Г, и случайная функция измерима. Пусть т(со)—случайный элемент (Т, 2Г). Докажите, что с, = = (Ш) (со)—случайная величина.
Для неизмеримого случайного процесса его значение в случайный момент времени вовсе не обязано быть случайной величиной.
4. Разумеется, можно изучать случайные процессы, комбинируя методы пп. 1—3, или применять
2 А. Д. Вентцель
зз
методы, специально выдуманные для какого-либо узкого класса процессов, но об этом мы будем говорить не здесь.
§ 1.4. Важнейшие классы случайных процессов
В теории случайных процессов выделяются различные широкие классы случайных функций; эти классы, вообще говоря, пересекающиеся.
1. Случайная функция ??, /еГ, принимающая
значения в (X, 96) = (R1, ?8Х) —или (Rn, $п), — называется гауссовской, если все ее конечномерные распределения — нормальные (гауссовские), т. е. случайный вектор (ц, ..., %tk) имеет нормальное распределение при любых 1\........1кеГ.
