Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
вообще говоря, утверждать, что это случайная величина). Будет
ли
О и
(Lp) ^ |tdt с вероятностью 1 совпадать с интегралом ^ dt,
а а
вычисленным отдельно вдоль каждой реализации?
Если все реализации интегрируемы по Риману, ответ на этот вопрос положителен. Действительно, LP-интеграл является пределом интегральных сумм в среднем, а стало быть, и по вероятности; с другой стороны, интеграл вдоль каждой реализации — предел тех же самых сумм, причем это выполнено для любого элементарного события. Из сходимости всюду также вытекает сходимость по вероятности, и совпадение почти наверное обоих интегралов следует из единственности предела 'по вероятности (точнее, почти-единственности). В случае интегрируемости по Риману интеграл, вычисленный вдоль каждой реализации, оказывается случайной величиной (т. е. измеримой функцией от (о) как предел последовательности интегральных сумм.
В частности, рассмотренный выше интеграл от пуассонов-ского процесса можно понимать как интеграл вдоль каждой реализации. Заметим, что траектории процесса ?/ не дифференцируемы, а лишь кусочно дифференцируемы, хотя дифференцируемо в среднем в любой степени.
Если реализации \t не интегрируемы по Риману, они все же могут быть интегрируемы по Лебегу, и перед нами стоит вопрос о совпадении римановского интеграла в среднем с лебеговским интегралом вдоль каждой реализации.
Задача 18. Пусть случайная функция |<, /е [а, 6], измерима и непрерывна в среднем в степени р ^ 1. Тогда почти наверное
ь \ ь
ь \ ь
п ' а
где слева стоит интеграл в среднем, а справа — интеграл, "определенный отдельно для каждой реализации.
В гл. 2, 4 рассматриваются только интегралы в среднем, в последующих главах — интегралы вдоль каждой реализации. В силу задачи 18 для измеримых случайных функций это не приведет ни к каким недоразумениям.
Зная все конечномерные распределения случайного процесса
ъ
?(, мы можем в принципе найти распределение ^ \fdt или сов-
а
местное распределение этой случайной величины с величинами того же рода, значениями |?, и т. п.; но ничего такого же простого, как с производными, здесь нет. Нахождение распределения интеграла от случайной функции сводится к нахождению
47
предельного распределения сумм возрастающего числа случайных величин причем ни о какой независимости или ослабле-
нии зависимости между ними нет и речи. Находить такие распределения иногда удается обходными путями (см. для марковских процессов § 10.3, п. 4).
-Г). В отличие от задачи нахождения распределений интегралов от случайных функций, задача нахождения их первых и вторых моментов достаточно проста.
Микротеорема 3. Пусть Е(0—непрерывная в среднем квадратическом случайная функция, М| КО |2<оо. Тогда
ь ь
M\ut)dt=\m(t)dt, (2)
а а
. ъ
COV
Е(/)Л, ЕЖ ==$%(/, s)dt, (3)
/ а
d . b d
l(t)dt, ^ s)dtds. (4)
Доказательство. Прежде всего, если равенство (2) доказано, формулы (3), (4) равносильны
таким:
ь ь
М$|(0Л-Ш=$ Ul{t)Us)dt, (5)
b d b d
М ^ Е (/) dt ¦ ^ Е (s) ds = ^ ^ ME (/) Е (s) dt ds. (6)
а с ас
Формулы (2), (5) легко получаем из непрерывности скалярного произведения по первому аргументу; например, (2):
ь
М ^ Е(0<* = М 1. i. m. ^ I ¦ (ti + 1 — tt) =
a
= (l. i. m. ^E(s?) • (/i + i — ti), l) =
= lim (^E(s«) • (ti + i — tt), l) =
b
= lim ^ ME (Si) ¦ (^i+1 — ti)= ^ ME (t)dt.
48
Формула (6) получается применением того же приема к (5), с использованием непрерывности скалярного произведения по второму аргументу.
Формулы (2) — (6)i остаются справедливы и для несобственных интегралов; доказательство состоит в том же использовании непрерывности скалярного произведения в применении к предельному переходу от собственных интегралов к несобственным.
Совершенно так же доказывается формула
(Ь d \ cov / (/) I (t) dt, jj ^ (s) т) (s) dsj =
b d
= 5 \ MOg(s)s)dtds. (7)
a с
Пусть теперь A — линейный интегральный оператор:
ъ
Af(t)=\A(t, s)f(s)ds. (8)
