Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
51
1) случайные величины ?(Л) интегрируемы в квадрате;
2) для любых непересекающихся множеств Ль
оо
Л2, Ап, ... ^ таких, что (J An<^s?, почти
п — 1
наверное
/ оо Ч со
ц U л,) = Х шп),
\п=~ 1 / п= I
где бесконечный ряд понимается в смысле сходимости в среднем квадратическом, т. е. как
1. i. m. ? l{Ak) .
tt -> оо k~ 1
Заметим, что здесь вовсе нет никакого требования неотрицательности значений |(Л); так что, может быть, нужно было бы говорить не о случайной мере, а о случайной счетно-аддитивной функции множества. Однако это было бы слишком длинно; и традиция состоит в употреблении здесь слова мера.
Пример у нас уже есть: пусть л; (Л) —пуассоновская случайная мера со средним т, где т — мера на измеримом пространстве (X, с?)\ тогда сужение ее на систему множеств s4- = {Л е т(А) <С оо} есть ХЛслучайная мера.
Еще раз заметим, что от реализаций случайной меры & (Л) у нас ничего не требуется.
Случайная мера ?(Л) называется мерой с независимыми значениями, если для любых непересекающихся множеств Ль .. ., Л„е^ значения g (Лi), . .. ..., ?(ЛП) независимы.
Вариант этого определения «в широком смысле»: случайная мера ?(Л) называется мерой с некоррелированными значениями, если для любых двух непересекающихся Ль А2^з? значения g(Лх), |(Л2) некор-релированы: соу(?(Л[), |(Л2)) — 0.
Микротеорема. Пусть 1(A), Ле i,— Ь2-случайная мера с некоррелированными значениями. Тогда ml (А) = М ?(Л), А ^ S4-, —- числовая счетно-аддитивная функция множества на m2 (А) = D? (Л), Ле^,-мера на Ж.
52
Часть доказательства, касающаяся математического ожидания, — тривиальное следствие непрерывности скалярного произведения: для непересекаю-
оо
щихся А\у ..., АПу ... s&, U Ап s&y
п = 1
«ifU Ап) = fz Шп), l) = fl.i.m. Е Е(Лк), 0 =
\rt = l / \rt=l / \ П->оо & = 1 /
/ п \ П оо
= Игл I Е I (Ak), 1 ) = lim Е (? (Д*). О = Е (Л„);
П~> оо \k = 1 / П-> оо&=1 П= 1
это справедливо и для любой /Аслучайной меры, без предположения некоррелированности значений. Счетная аддитивность (неотрицательность проверять нечего) также получается как следствие непрерывности скалярного произведения, но уже по паре аргументов. Положим ?°(Л)=?(Л)-—т\(А). Имеем:
пг2( U Ап
\п—\
I/оо ч 12 ? оо оо \
1°( U Ап)\ = Е 1°(Ап), Е §°(Л„)) =
\rt=I / I \я = 1 1 /
l.i.m. Е Iй Ш, l.i.m. Е 1°(Л*)
П-> ОО k~\ П-> ОО k=l
= lim (t l°{Ak), E l°{Ak)
П~> oo \k~ 1 k— 1
= lim t №°(Л*), ?°(Л;)).
n-> OO fc, / — 1
В силу некоррелированности значений случайной меры на Ak, Л/, k ф /, здесь пропадают все слагаемые с разными значениями к, /, и получаем
П оо
lim Е К(Л*)=? т2(Ап).
П~>оо k = \ П=\
2. В обычной теории меры и интеграла Лебега есть более элементарная часть, включающая Тюстрое-ние интеграла Лебега по мере, заданной на G-алгебре, теоремы о предельном переходе под знаком интеграла и т. п.; а есть более сложная часть, куда относится, в частности, теорема о продолжении меры с
полукольца (или алгебры) на порожденную им (ей) ст-алгебру. В теории стохастического интеграла мы будем опираться на уж« имеющуюся теорию меры и интеграла Лебега, и один раз преодоленные трудности у нас снова не возникнут. Благодаря этой опоре мы сможем объединить теорему о построении стохастического интеграла с теоремой о продолжении; теорема, которую мы сейчас сформулируем, будет сложна не столько для доказательства, сколько для усвоения всей мощности ее формулировки.
Теорема 1. Пусть m — конечная мера на измеримом пространстве (X, 96)\ пусть зФ—полукольцо подмножеств X, содержащее само X, причем а-алгеб-ра 96 порождается полукольцом si: $6 = a (si).
Пусть |(Л), А е s&,— конечно-аддитивная случайная функция множества (т. е. почти наверное ?(/4iU ...
• • ¦ 1Ия) = %(Ai) ~h ¦ ¦ ¦ ~h если Ai, . . ., Ап —
непересекающиеся множества, причем Л,-, А \ U • • •
. .. i]An^sl). Пусть значения ?(Л)—интегрируемые в квадрате случайные величины, причем некоррелированные для непересекающихся множеств (cov(|^i), КА2)) = 0, если Л1 П Л2 = 0). Пусть для любого множества А из полукольца Щ(Л) = 0, 0|(Л) =m(A).
Тогда конечно-аддитивная случайная функция множества ?(Л) автоматически счетно-аддитивна (т. е. это — случайная мера с некоррелированными значениями на sl)\ более того, она единственным образом продолжается до Ь2-случайной меры с некоррелированными значениями на а-алгебре 96. Наконец, существует единственное отображение I пространства L2(X, 96, m) = L2(dm) функций, интегрируемых в квадрате, в пространство L2 (Q, , Р) =
