Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
.Стационарные процессы мы будем иногда называть стационарными процессами в узком смысле (если нужно, будет подчеркнуть их отличие от стационарных в широком смысле).
Задача 2. Пусть wt, t ^ О,— винеровский процесс, выходящий из нуля. Положим — —оо < / < оо- Дока-
жите, что |(—стационарный процесс; найдите его корреляционную функцию.
Стационарные процессы в широком смысле допускают интересную интерпретацию в терминах геометрии гильбертова пространства: это почти то же самое, что винтовые линии в гильбертовом пространстве интегрируемых в квадрате случайных величин. Винтовая линия — это такая линия, которую можно двигать саму по себе, совмещая любую точку с любой; для
36
этого необходимо и достаточно, чтобы при определенном выборе параметра на кривой скалярные произведения — |<3)
не менялись при любом сдвиге tt, h, t3, t^ Для стационарных процессов это, конечно, выполнено, так что все стационарные процессы в широком смысле — винтовые линии, но не все винтовые линии в гильбертовом пространстве — стационарные в широком смысле процессы. Легко проверить, что стационарные в широком смысле процессы — это те и только те винтовые линии в гильбертовом пространстве, которые лежат на поверхности сферы вида {х: (х, х) = ст2 + т2, (х, 1) = т}.
3". Обобщения стационарных процессов. Однородное (или стационарное) случайное поле — случайная функция на множестве Т = Rn, удовлетворяющая условию (1) для произвольного вектора h. Однородное изотропное поле — это такое, для которого конечномерные распределения не меняются не только при сдвиге, но и при вращении вокруг любой точки. Вообще можно рассматривать случайные функции, конечномерные распределения которых инвариантны относительно той или иной группы преобразований множества Т.
Более сложно понятие однородного изотропного векторного поля: это — случайная функция g(^) на Т = Rn со значениями в (Rn, 31n), удовлетворяющая условию (1) и такая, что для любого вращения g совместное распределение g~'t(gh), ... ..., g~l%(gtn) совпадает с совместным распределением %(ti), ... ..., l(tn). Разумеется, можно рассматривать однородные изотропные тензорные поля (постарайтесь дать определение, если вы знакомы с тензорами) и дальнейшие обобщения в этом направлении.
Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями, если у него не меняются при сдвиге to, ti, . .., tn на h совместные распределения приращений — g* ,
t . Процессами со стационарными прира-
2 о 1п о
щениями являются, конечно, все стационарные процессы, процессы в примерах 2—4, 7 § 1.2 (но не все процессы с нр’явиси-мыми приращениями) и, например, такой процесс:
%t=A cos (т^ + ф) + at + Р,
где ф не зависит от (А, т), а, (5) и имеет равномерное распределение на [0, 2я).
Можно дать определение процесса со стационарными приращениями второго порядка, под которое подойдет, в частности, тот же процесс с добавкой случайной параболы и т. д.
Понятие стационарности приращений, как и понятие стационарности, отражает представление о неизменности условий протекания процесса, но по-другому. Процессы (и поля) со стационарными приращениями, не являющиеся стационарными, возникают при построении математической модели таких физических явлений, как, например, турбулентность. Так, хорошей моделью поля скоростей турбулентного потока оказывается изотропное векторное случайное поле со стационарными приращениями.
Ясно, каковы соответствующие понятия «в широком смысле». В частности, процессы со стационарными в широком смысле приращениями — это в точности винтовые линии в гильбертовом пространстве.
37
4. Другой чрезвычайно важный (и с точки зрения теории, и для возможных приложений) класс случайных процессов — класс марковских процессов. Это — такие процессы, в которых будущее зависит от прошлого только через настоящее.
Эту общую идею можно превратить в точное математическое определение, причем даже не одним способом. Определения будут даны в гл. 8.
Мы увидим, что процессы примеров 2, 3, 4, 7, 9 § 1.2 (процессы с независимыми приращениями) окажутся марковскими процессами; также примеры 5, 8, но не 1.
У классов стационарных и марковских процессов есть довольно широкое и интересное пересечение; об этом см. § 8.6.
Г л а в а 2
ЭЛЕМЕНТЫ СЛУЧАЙНОГО АНАЛИЗА
§ 2.1. Сходимости, непрерывности, производные, интегралы
1. Для случайных величин, как уже говорилось, рассматривают не один какой-то вид сходимости, а много различных видов. В соответствии с этим мы рассматриваем различные виды непрерывности, производной и т. п. Однако сначала мы дадим некоторые критерии сходимости в терминах конечномерных распределений.
Микротеорема 1. Пусть М|^|2<оо при ecext. Для того чтобы существовал l.i.m. при > ->• to (или при t^>- оо), необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел M|*Is при t, s f0 (или t, s -> оо).
Заметим, что это условие можно заменить на условие существования конечных пределов м ь при t —>- to и корреляционной функции K(t, s) при t, s-*-to.
