Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 17

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 146 >> Следующая


Задача 7. Если случайная функция ?* непрерывна в среднем в степени р ^ 1 на компакте А, то существует константа С < оо такая, что М|^|Р^С при / еА

Задача 8. Для того чтобы случайная функция

была стохастически непрерывна на множестве Т, необходимо и достаточно, чтобы распределение ц.,: .

было слабо непрерывно по паре (t, s) на множестве

Т X т.

Задача 9. Для того чтобы случайная функция

была непрерывна в среднем квадратическом на множестве Т, необходимо и достаточно, чтобы была непрерывна по (t, s) на Т X Т функция M|JS, или же чтобы было непрерывно по t, а корреляционная функция K(t, s) —по паре своих аргументов.

Микротеоремы задач 6, 7 сохраняются для функций в произвольном банаховом, а задачи 9 — в произвольном евклидовом пространстве; доказательство можно провести точно так же, как для числовых функций.

3. Ясно, что производная случайного процесса определяется как предел (Ъ+н — lt)/h при h-*~ О в смысле соответствующей сходимости. Естественно, из дифференцируемости в среднем (по вероятности) вытекает соответствующая непрерывность. Условия дифференцируемости по вероятности и в среднем квадратическом нам дают микротеоремы п. 1; так как при применении этих микротеорем должна идти речь о совместных распределениях ih+ь — ?<)/А и (hth' — h)lh'> то дифференцируемость по вероятности — свойство, определяемое конечномерными распределениями процесса не выше чем третьего порядка (дифференцируемость в среднем квадратическом,

42
как и все свойства, относящиеся к корреляционной теории, определяется распределениями не выше чем второго порядка). Рассмотрим примеры дифференцирования в различных смыслах.

Винеровский процесс не дифференцируем даже в смысле сходимости по вероятности. Действительно, будь он дифференцируем в какой-то точке t, существовал бы слабый предел распределения (wt+н—Wt)/h при /i-v 0, а это — нормальное распределение со средним 0 и дисперсией j/г|—1 —оо, и оно при Л—> О уходит на —оо и оо.

Процесс примера 1 § 1.2 дифференцируем по вероятности (это само собой разумеется, раз он обладает дифференцируемыми траекториями), а также в среднем в степени р, если М (Л • "п)р < оо.

Пуассоновский процесс дифференцируем по вероятности, но не дифференцируем в смысле сходимости в среднем ни в какой степени р ^ 1. Действительно,

легко видеть, что Iim(P)(?f+h — lt)/h~0, ибо с ве-л->о

роятностью 1 эта дробь равна 0 при всех достаточно малых h. Значит, предел в среднем, если он существует, тоже должен быть нулевым почти наверное. Но математическое ожидание р-й степени модуля отношения приращений не меньше | h['p Р {lt+h ф — ~ а\h ^~р-t* 0 при h—* 0.

Этот пример показывает, что нет большого смысла строить наш «случайный анализ», основываясь на понятии дифференцирования по вероятности: ведь для того, чтобы можно было развивать сколько-нибудь далеко идущие теории, нужно, чтобы функция однозначно с точностью до константы определялась своей производной (это нужно, в частности, для вывода формулы Ньютона — Лейбница), а этой однозначности здесь нет. Напротив, для сходимости в среднем такая однозначность имеет место:

Задача 10. Пусть ft— функция на числовой прямой или какой-либо ее части, принимающая значения в банаховом пространстве. Если для всех t е е [а, Ь] существует производная этой функции =

= lim (ft+h — ft)/h в мысле сходимости по норме h-> 0

в этом пространстве и ft — 0 на отрезке [а, Ь], то ft = fa при t е [а, Ь].

43
Посмотрим на дифференцирование случайных процессов с точки зрения корреляционной теории.

3 а д а ч а 11. Докажите следующую микротеорему: для того чтобы случайный процесс был непрерывно дифференцируем в среднем квадратическом на интервале (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы функция M\t%s обладала на множестве (a, b) X (о, Ь) непрерывной смешанной производной второго порядка по t и s (или чтобы M%t было непрерывно дифференцируемо по / и существовала непрерывная смешанная производная_ d2K(t, s)/dt ds от корреляционной функции).

Из доказательства автоматически получается, что d2K(t, s)jdtds — корреляционная функция процесса Vt. Более того, легко находится совместная корреляционная функция процесса и его производной:

//CK(/,s) /Кгг((,*) dKu(t,s)/ds \

l/Tg»g(f,s) /Cgy(/,s)J==VdtfEE(*. s)/dt д*Кг1Ц, s)Jdt ds )¦

Аналогично можно выписать совместную корреляционную функцию процесса и его производных до второго порядка, если существует, и т. д.

Задача 12. Пусть — стационарный (в широком смысле) процесс с корреляционной функцией К (т) = (1 + | т | +т2/3) е "*т1. Сколько раз он дифференцируем в среднем квадратическом?

Задача 13. Пусть |<, —°о < t < оо, — случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией K{t, s) = est. Установите, что он бесконечно дифференцируем в среднем квадратическом, и найдите матрицу ковариаций случайных величин g_j, g0,

Что касается конечномерных распределений то найти
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed