Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 7. Если случайная функция ?* непрерывна в среднем в степени р ^ 1 на компакте А, то существует константа С < оо такая, что М|^|Р^С при / еА
Задача 8. Для того чтобы случайная функция
была стохастически непрерывна на множестве Т, необходимо и достаточно, чтобы распределение ц.,: .
было слабо непрерывно по паре (t, s) на множестве
Т X т.
Задача 9. Для того чтобы случайная функция
была непрерывна в среднем квадратическом на множестве Т, необходимо и достаточно, чтобы была непрерывна по (t, s) на Т X Т функция M|JS, или же чтобы было непрерывно по t, а корреляционная функция K(t, s) —по паре своих аргументов.
Микротеоремы задач 6, 7 сохраняются для функций в произвольном банаховом, а задачи 9 — в произвольном евклидовом пространстве; доказательство можно провести точно так же, как для числовых функций.
3. Ясно, что производная случайного процесса определяется как предел (Ъ+н — lt)/h при h-*~ О в смысле соответствующей сходимости. Естественно, из дифференцируемости в среднем (по вероятности) вытекает соответствующая непрерывность. Условия дифференцируемости по вероятности и в среднем квадратическом нам дают микротеоремы п. 1; так как при применении этих микротеорем должна идти речь о совместных распределениях ih+ь — ?<)/А и (hth' — h)lh'> то дифференцируемость по вероятности — свойство, определяемое конечномерными распределениями процесса не выше чем третьего порядка (дифференцируемость в среднем квадратическом,
42
как и все свойства, относящиеся к корреляционной теории, определяется распределениями не выше чем второго порядка). Рассмотрим примеры дифференцирования в различных смыслах.
Винеровский процесс не дифференцируем даже в смысле сходимости по вероятности. Действительно, будь он дифференцируем в какой-то точке t, существовал бы слабый предел распределения (wt+н—Wt)/h при /i-v 0, а это — нормальное распределение со средним 0 и дисперсией j/г|—1 —оо, и оно при Л—> О уходит на —оо и оо.
Процесс примера 1 § 1.2 дифференцируем по вероятности (это само собой разумеется, раз он обладает дифференцируемыми траекториями), а также в среднем в степени р, если М (Л • "п)р < оо.
Пуассоновский процесс дифференцируем по вероятности, но не дифференцируем в смысле сходимости в среднем ни в какой степени р ^ 1. Действительно,
легко видеть, что Iim(P)(?f+h — lt)/h~0, ибо с ве-л->о
роятностью 1 эта дробь равна 0 при всех достаточно малых h. Значит, предел в среднем, если он существует, тоже должен быть нулевым почти наверное. Но математическое ожидание р-й степени модуля отношения приращений не меньше | h['p Р {lt+h ф — ~ а\h ^~р-t* 0 при h—* 0.
Этот пример показывает, что нет большого смысла строить наш «случайный анализ», основываясь на понятии дифференцирования по вероятности: ведь для того, чтобы можно было развивать сколько-нибудь далеко идущие теории, нужно, чтобы функция однозначно с точностью до константы определялась своей производной (это нужно, в частности, для вывода формулы Ньютона — Лейбница), а этой однозначности здесь нет. Напротив, для сходимости в среднем такая однозначность имеет место:
Задача 10. Пусть ft— функция на числовой прямой или какой-либо ее части, принимающая значения в банаховом пространстве. Если для всех t е е [а, Ь] существует производная этой функции =
= lim (ft+h — ft)/h в мысле сходимости по норме h-> 0
в этом пространстве и ft — 0 на отрезке [а, Ь], то ft = fa при t е [а, Ь].
43
Посмотрим на дифференцирование случайных процессов с точки зрения корреляционной теории.
3 а д а ч а 11. Докажите следующую микротеорему: для того чтобы случайный процесс был непрерывно дифференцируем в среднем квадратическом на интервале (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы функция M\t%s обладала на множестве (a, b) X (о, Ь) непрерывной смешанной производной второго порядка по t и s (или чтобы M%t было непрерывно дифференцируемо по / и существовала непрерывная смешанная производная_ d2K(t, s)/dt ds от корреляционной функции).
Из доказательства автоматически получается, что d2K(t, s)jdtds — корреляционная функция процесса Vt. Более того, легко находится совместная корреляционная функция процесса и его производной:
//CK(/,s) /Кгг((,*) dKu(t,s)/ds \
l/Tg»g(f,s) /Cgy(/,s)J==VdtfEE(*. s)/dt д*Кг1Ц, s)Jdt ds )¦
Аналогично можно выписать совместную корреляционную функцию процесса и его производных до второго порядка, если существует, и т. д.
Задача 12. Пусть — стационарный (в широком смысле) процесс с корреляционной функцией К (т) = (1 + | т | +т2/3) е "*т1. Сколько раз он дифференцируем в среднем квадратическом?
Задача 13. Пусть |<, —°о < t < оо, — случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией K{t, s) = est. Установите, что он бесконечно дифференцируем в среднем квадратическом, и найдите матрицу ковариаций случайных величин g_j, g0,
Что касается конечномерных распределений то найти