Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
где /0 = 0. Он имеет плотность распределения рДш (-XT], ..., хп) —
Совместное распределение wt, •••, wtn также будет иметь плотность. Выпишем ее, пользуясь формулой, выражающей плотность распределения вектора, получаемого из вектора ? невырожденным линейным преобразованием А:
Здесь в качестве ?, АЁ, берутся векторы Ада, (wt„ . . . ...,wtn)\ имеем: (wtr ..., wtn) = (*о + (wtt — wt0), Хо + (wt, — wt) + (wt2 — wt), • - •, x0 + (wt, — Wt) + . • •
... + (wtn — u>tn_l)) (помним, что wt, — wo — jco); матрица преобразования треугольная, с единицами на диагонали и под ней, определитель равен 1; обратное преобразование дается формулой А~хх = (х{—х0, Хг — хи ..., хп — хп-\) (здесь хи ..., хп — координаты вектора х, а х0 — константа). Получаем:
Ра1^’ •••• wt • • •» ^г)===
Итак, конечномерные распределения винеровского процесса, начинающегося из точки х0, — гауссовские.
Задача 3. Пусть конечномерные распределения случайного процесса задаются формулой (2), wо = хо- Докажите, что тогда для Wt, t 0, выполняются требования I, II определения винеровского процесса.
3. Многомерный винеровский процесс —; случайный процесс wt со значениями в (Rr, 3$г), удовлетворяющий условиям I и III п. 2 и условию
Д [2л (t{ — /,_,)] 1/2 exp < — ?
П ( П
Ра* М = 1 det А | 1 рг(А гх).
21
IF. Случайный вектор wt — Ws, s < t, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием
О и матрицей ковариаций (t — s)E (Е — единичная матрица порядка г).
Задача 4. Пусть wt — (w\.....w\), t e [0, оо), -т- /--мер-
ный винеровский процесс, wо = x0. Докажите, что любое событие из а-алгебры порожденной случайными величинами w\,
t ^ 0, любое событие из а-алгебры 9"1, порожденной случайными величинами w2, ..., и любое событие из определенной аналогичным образом а-алгебры 9~г независимы (т. е. л-мерный винеровский процесс — это г независимых друг от друга одномерных винеровских процессов).
Задача 5. Докажите, что, когда максимальный отрезок разбиения а — ta < tt <...</„ = b отрезка от а до b стре-п-1
мится к 0, Y (”’<•+ —в среднем квадратическом.
4. Процессом Коши называется случайный процесс удовлетворяющий условию I п. 2 и условию
II". Приращение lt+h — Ь имеет распределение с плотностью р (х) = Trlh/(h2 -f- х2) (распределение Коши).
Задача 6. Выпишите конечномерные распределения процесса Коши %t, .J ^ 0, начинающегося из точки ха (т. е. = хо).
5. Пусть |i, ..., |„, ... — независимые случайные величины с одной и той же непрерывной функцией распределения F(x). Обозначим через F'n(x), —оо < < х < оо, эмпирическую функцию распределения,
вычисленную по наблюдениям |р . . ., ln: F'n (х) =
___ ЧИСЛО {Ii ^Х, 1 <('< п}
п
рнс з Так как ?. случайны, то
ясно, что F*n(x), х е будет случайной функцией. Что это будет за случайная функция?
Прежде всего оказывается, что случайная функция Yn(t)=F'n{F~l(t))—t, /е [0, 1] (где F^' —
обратная к F функция, т. е. F (F~l (t))=t), имеет
одни и те же конечномерные распределения для
любой непрерывной функции F. Траектория этой случайной функции имеет такой вид (рис. 3): она делает п скачков величины 1 /п вверх, а в промежут-
22
ках между ними убывает с угловым коэффициентам ¦— 1.
Ясно, что Уп(0 при п-*- оо стремится к нулю со скоростью порядка 1 /'s/п, так как это разность частоты и соответствующей вероятности. Имеет место следующий интересный результат.
Задача 7. При я->-оо все конечномерные распределения случайной функции VnYn(t), f е [0, 1], сходятся к гауссовским распределениям.
Оказывается, эти предельные распределения являются конечномерными распределениями некоторой случайной функции Z(i), t е [0, 1], с непрерывными реализациями. Это показывает путь, на котором можно найти асимптотические распределения различных функционалов от эмпирической функции распределения, используемых в математической статистике; например, статистики
Колмогорова V п sup I (^) — ^ (-^) I = SUP I V« Yn(t)\.
-oo<jc<oo 1 1 о<г<11 1
Вывод асимптотического распределения разбивается на две
части: доказательство того, что Р { sup \''JnYп (t) \> х}
о< << 1
-» Р { sup | Z (t) | > х}, и нахождение последней вероятности.
о< t < 1
6. До сих пор мы рассматривали случайные функции лишь с числовым параметром t: Т s R1; читатель легко придумает примеры, где Т ^ R2 и т. п. Рассмотрим пример случайной функции с более «экзотической» областью определения.
Пусть на измеримом пространстве (X, 86) задана мера т. Случайная функция я(Л) = я(Л, со), Л е 36, называется пуассоновской случайной мерой со средним т, если
I. Для любых непересекающихся множеств Л1, ..., /4пе^ значения я(Л]), ..., я(Л„) независимы.
