Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Необходимость — тривиальное следствие непрерывности скалярного произведения по паре аргументов. При этом lim =
t, S —^ t о
= M|I.i.m. (соответственно lim = M l.i.m. ?fl
t ->t 0 t~>t 0 t ->t 0
a lim К (t, s) — дисперсия этой случайной величины).
t, S~>t о
Для доказательства достаточности проверим выполнение условия Коши:
lim^ М|?г — ?J2 =
= lim [M|^|2-Mys-MgsI, + M|gs|2] = 0.
t, s t о
oo
3 а д а ч a 1. Докажите, что ряд \п из некоррелированных
п= 1
39
случайных величин сходится в среднем квадратическом тогда и
оо оо
только тогда, когда сходятся ряды
п = 1 п = 1
Микротеорема 2. Для того чтобы существовал предел \t в смысле сходимости по вероятности при t to (или при t-*-oo), необходимо и достаточно, чтобы существовал предел при t, s1о (или при t, s оо) двумерных распределений . в смысле
слабой сходимости.
Доказательство. Необходимость. Пусть
lt г](/ —> tQ); тогда случайный вектор (?ь |s) (г), т])
при t, s —>- to- Но из сходимости по вероятности вытекает слабая сходимость распределений, значит,
Достаточность. Заметим, что если t, s-*-tо, то s может совпадать с t. Так как распределение \\иЪ) сосредоточено на биссектрисе первого и третьего координатных углов, то и предельное распределение сосредоточено на этом множестве (доказать!). Рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию действительного аргумента fe, равную 1 вне е-окрест-ности нуля и 0 в нуле. Имеем (по неравенству Че-бышёва)
РШ,-и>е}<МЫё,-У =
= \ \ it,\Sdxdy)-
Л3
Но fe(x — у)—непрерывная функция двух переменных, причем ограниченная; поэтому при t, s —to интеграл справа стремится к — У) И (dx dy), где
R2
ц — предельное двумерное распределение. Так как оно было сосредоточено на множестве {х = у}, то интеграл равен нулю, и выполняется условие фундаментальности по вероятности.
Задача 2. Пусть gi, ..., ... — независимые случайные
величины, имеющие одинаковое распределение с М?? = 0, Dg? = а2 > 0. Известно, что существует предельное распределение для ?„ = (?]+ ••• +Ere)/(oVre) (стандартное нормальное распределение). Существует ли lim (Р) ?ге?
ОО
40
Задача 3. Докажите, что если — стационарный процесс, то lim (Р) ?,t не существует, за исключением случая, когда про-
/ —> СО
цесс ?/ эквивалентен постоянному по t: Р{^ = ?^} = 1.
2. Теперь займемся понятиями непрерывности.
О непрерывности в смысле сходимости почти всюду, так же, как далее в этом параграфе о дифференцировании и интегрировании в смысле сходимости почти всюду, мы не будем здесь говорить; это связано со свойствами реализаций с вероятностью 1, которые будут рассматриваться п гл. 5.
Непрерывность в смысле сходимости по вероятности называется стохастической непрерывностью; это самый слабый из рассматриваемых видов непрерывности.
Случайная функция (eF, называется стоха-
, гг t <Р) t
стически непрерывной в точке to ^ 1, если ^—*5* при /-к/о. Стохастическая непрерывность случайной функции, как легко понять, относится к свойствам, однозначно определяемым ее двумерными распределениями; конкретные примеры процессов, которые мы приводили, являются стохастически непрерывными (если имеет смысл об этом говорить), несмотря на то, что их реализации могут быть разрывными,— например, пуассоновский процесс. Это происходит потому, что разрывы на каждой реализации находятся в своих точках, и вероятность того, что разрыв будет именно в данной точке t, равна 0.
Следующая задача делает понятным то, что, рассматривая процессы с независимыми приращениями, мы не рассматриваем процессов с независимыми значениями.
Задача 4. Пусть ( е [0, 1], — случайный процесс такой, что все независимы друг от друга и имеют одинаковую плотность распределения р. Докажите, что этот процесс не стохастически непрерывен ни в какой точке.
Ясно, как определяется непрерывность в среднем.
Предлагается доказать следующие микротеоремы (данные в виде задач), из которых первые обобщают известные свойства непрерывных функций, а последние две дают критерии непрерывности в терминах двумерных распределений.
Задача 5. Если случайная функция gt стохастически непрерывна на компактном множестве ЛдГ, то она равномерно стохастически непрерывна на этом множестве, т. е. для любого е > 0 и любого т] > О
41
существует б > 0 такое, что Р {| gf — |s | ^ е} < т] для t, s е А, р (t, s) < 6.
Задача 6. Если случайная функция непрерывна в среднем в степени р ^ 1 на компактном А, то она равномерно непрерывна в среднем в степени р на этом множестве. (Мы не даем определения равномерной непрерывности случайной функции в среднем, но указываем только, что эта равномерная непрерывность определяется, как для любой функции, принимающей значения в нормированном пространстве.)
