Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
а
Рассмотрим соответствующий интегральный оператор, применяемый к случайным функциям:
ъ
А1 (0=5 Л s) I (s) ds,
а
где интеграл понимается в среднеквадратическом смысле. Из формул (2), (7) вытекает следующее правило преобразования среднего и корреляционной функции при интегральном преобразовании случайной функции:
Математическое ожидание Л|(/) получается применением оператора А к функции Щ (•), а корреляционная функция — применением к корреляционной функции Кц(-, ¦) оператора А как к функции от t при фиксированном s и оператора А, комплексно-сопряженного к А, по s при фиксированном t:
МЛ|(0 = ЛМ|(0, (9)
Kai, (t, s) = AtAsKn (t, s). (10)
49
Здесь индексы у Л и Л означают переменные, по которым применяется оператор. Комплексно-сопряженный оператор определяется формулой
и
Af (t) — А (t, s) f (s) ds.
Если применить оператор А к s) лишь по
первому аргументу, получается взаимная корреляционная функция случайных функций А1 (•) и ?(•):
KamV, 8) = А,Кг1Ц, s); (11)
это вытекает из формулы (3).
То же самое правило было получено нами и для дифференцирования; легко получить, что оно годится и для линейных операторов, содержащих любые комбинации производных и интегралов, например; Л|(0 =
= % (а (0) + Ь (0 Г (0 + с (0 Ш \ В (t, s) Г (s) ds.
— оо
6. Задача 19. Найдите совместное распределение wt ii
t
^ wsds, t ^ 0 (Wt — винеровский процесс).
о
Задача 20. Пусть wt, t ^ 0, — винеровский процесс. Дока-
ОО
жите, что ^ (ег~5 — 2е2^~^) ws ds существует как ин-
t
теграл в среднем квадратическом, и найдите математическое ожидание и корреляционную функцию процесса t ^ 0. Задача 21. Пусть 'gt — стационарный процесс с
Т 2
корреляционной функцией К(т). Выразите М
dt
через
о
К(т). Установите характер предельного поведения этого математического ожидания при Т-*¦ оо для случая абсолютно интегрируемой от —оо до +оо функции К(т).
Задача 22*. Докажите, что винеровский процесс в»< пред-
ОО
ставляется при 0 =?1 t ==: л/2 рядом Фурье %п s>n ((2га—
п= 1
— 1)<)>гДе Хп — независимые случайные величины. Найдите DXn.
7. У читателя может возникнуть вопрос: справедливо ли правило, сформулированное в п. 5, для линейных операторов, не представляющихся в виде комбинации дифференцирований, умно-
50
жений на функции и интегральных операторов? Оставим этот вопрос без ответа, укажем только, что на него и нельзя ответить прежде, чем будет уточнена его формулировка. Дело в том, что
ь
или ^ A (t, s) ?, (s) ds — не просто применение к случаи-
а
ной функции оператора дифференцирования или оператора, задаваемого формулой (8). Здесь существенным элементом является перенесение определения дифференцирования (интегрирования) на случайные функции, с заменой входящих в определения пределов пределами в среднем квадратическом. Поэтому здесь возникает много предварительных вопросов, которые нужно разрешить или обойти: как для линейного оператора построить его аналог «в среднем квадратическом», который можно будет применять к интегрируемым в квадрате случайным функциям? для каких операторов это можно сделать? и т. п.
§ 2.2. Стохастические интегралы от неслучайных функций
В связи с интересом теории вероятностей к зависимости и независимости естественно стремление представить случайные величины в виде суммы независимых, в крайнем случае некоррелированных слагаемых. Если речь идет о «сумме бесконечного числа бесконечно малых слагаемых», говорят об интегрировании. Это — идея, лежащая в основе различных понятий стохастического интеграла. Разумеется, только что сказанное — вовсе не математическое определение, а что-то смутное, чему можно придавать строгую математическую форму, и даже не одним способом. Сейчас мы введем одно понятие стохастического интеграла, относящееся к случаю, когда интегрируется неслучайная функция. В § 12.1 мы вернемся к стохастическим интегралам опять и посмотрим, как можно интегрировать случайные функции (далеко не все!). В отношении класса функций, которые можно интегрировать, теория расширится, зато в каком-то другом отношении ее придется сузить.
1. Начнем с понятия случайной (или стохастической) меры.
Пусть X — произвольное множество; — полукольцо его подмножеств (по-видимому, нет смысла рассматривать меры на системах множеств, у которых меньше хороших свойств, чем у полукольца). Числовая случайная функция ?(Л)=?(Л, со), Ле е si-, называется 1?-случайной мерой (префикс L2-мы будем часто для краткости опускать), если
