Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
в среднем квадратическом последовательности fn простых функций, ставится в соответствие 1(f) = = 1. i. т. / (/„). Этот предел существует в силу прин-
П—> оо
ципа Коши; чтобы доказать, что 1(f) не зависит ог выбора последовательности /л—»-/, берем две такие
57
последовательности и составляем из них одну, перемежая члены.
В результате каждой функции / из замыкания
множества простых функций ? ct%A. (х), Л,- е s4-, в
i
L2(dm) ставится в соответствие случайная величина
1(f)— ^f(x)l(dx). Но это замыкание совпадает со х
всем L2(dm) (читатель должен научиться доказывать это, пользуясь тем, что s4- — полукольцо, содержащее X!), поэтому интеграл (2) определен для всех интегрируемых в квадрате функций.
В частности, формула |(Л) — I (%а) доопределяет случайную функцию множества ? на всех множествах Л, принадлежащих а-алгебре 8В (на полукольце si по построению I (%а) дает прежнее значение ?(Л)). Из линейности отображения / вытекает конечная аддитивность продолжения случайной функции множества для Л1, . . ., Ап е SB, Л/ П Л/ = 0 (t ф /) имеем:
I (Л j U ... U Ап) = I (%А^ и и AJ = I (хА^ + ... +
= /(Хл,)+ ¦¦¦+1(Хап) = %(А,) + ... +1{Ап). Из конечной аддитивности ? и непрерывности отображения / легко выводится счетная аддитивность |.
Линейность и изометричность отображения / на всем пространстве L2(dm) вытекает из того, что это — продолжение по непрерывности отображения, линейного и изометричного на всюду плотном подмножестве этого пространства. Наконец, единственность такого отображения непосредственно видна из доказательства: для простых функций f мы не могли определить 1(f) по-другому, если хотели, чтобы отображение было линейно и чтобы 1 (%а) =?(Л) для А из полукольца si\ а из требования изометричности отображения вытекает его непрерывность, и нам ничего не оставалось, как произвести продолжение по непрерывности.
Теорема доказана.
Укажем еще одно простое свойство стохастического интеграла, не вошедшее в формулировку нашей
теоремы: М ^f(x)l(dx)= 0 для любой функции /е х
е L2(dm). Это получается также предельным переходом ОТ ПРОСТЫХ фуНКЦИЙ. :
58
3. Теорема Г. Пусть m — мера, вообще говоря,
бесконечная, на измеримом пространстве (X, 96 )\ пусть а-алгебра $6 порождается полукольцом подмножеств X, причем мера т(А) конечна на множествах А е и существует последовательность А\ ? ? А2 ? ... ? А„ ? ... множеств из полукольца, дающая в сумме все пространство X. Пусть ?(/1), А <= — конечно-аддитивная случайная функция
множества. Пусть значения ?(/1), /1е^, принадлежат L2(dP), причем они некоррелировины для непересекающихся множеств, М| (А) = О, DE (А) = m (Л).
Тогда выполняется утверждение теоремы 1, за исключением того, что случайная мера \ продолжается только на те множества А из о-алгебры $6, для которых т(А) С оо.
Доказательство остается тем же; условие существования последовательности Л. ? Л2 ? • - - ?
оо
— Ап ? ..., Л; е зФ, (j Лг = X, используется при до-( = i
казательстве всюду плотности множества простых
функций E ct%A., Ai^M-, в L2(dm) (т. е. в той ча-
i
сти доказательства, которую мы оставили читателю).
4. Существенной частью обычной теории меры является построение меры Лебега или, более общо, построение меры т с данной функцией распределения F (т. е. такой меры, что m(t\, t2] = F(t2)—F(t{)). Это позволяет для неубывающей непрерывной справа
функции F определять интеграл Лебега — Стилтьеса
ь
^f(t)dF(t) (он определяется как интеграл относи-
а
тельно соответствующей функции F меры т). В теории стохастических интегралов соответствующий раздел тоже есть: для случайного процесса с некоррелированными приращениями определяется стохасти-
ь
ческий интеграл ^f(t)dlt- При этом трудности, уже
а
преодоленные в обычной теории меры и интеграла, не возникают у нас вторично.
Сначала займемся изучением процессов с некоррелированными приращениями.
Пусть |f, R1, — процесс с некоррелирован-
ными (ортогональными) приращениями. Будем для
59
простоты считать, что = 0 (для того чтобы в ковариациях можно было не вычитать математического ожидания). Докажем, что существует неубывающая функция F(t), t (= Т, такая, что приращение It — ?s, s <С t, s, t ?= Т, имеет дисперсию, равную F (t) —F(s).
Пусть i0 — произвольный элемент множества Т. Для t = to функцию F положим равной 0; для t> to положим F (t) = М | lt — |2, для t < t0 определим F (t)
как —M|?<o — %tf. Доказав, что
М| h-h? = F(t)-F(s), (5)
мы тем самым докажем и монотонность F. Для /0 ^ s <С t имеем
Р щ=м 11, -!,. р=м I %,¦- f + М (i,- i,.) (IFy+
+ М(^у(?,-у + М||,-?,]!.
Обе сопряженные друг другу ковариации по предположению равны 0, а М [ f = F (s), откуда полу-
чаем (5). Для s < t ^ to выкладка точно такая же, с использованием того, что представляется в