Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 23

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 146 >> Следующая


в среднем квадратическом последовательности fn простых функций, ставится в соответствие 1(f) = = 1. i. т. / (/„). Этот предел существует в силу прин-

П—> оо

ципа Коши; чтобы доказать, что 1(f) не зависит ог выбора последовательности /л—»-/, берем две такие

57
последовательности и составляем из них одну, перемежая члены.

В результате каждой функции / из замыкания

множества простых функций ? ct%A. (х), Л,- е s4-, в

i

L2(dm) ставится в соответствие случайная величина

1(f)— ^f(x)l(dx). Но это замыкание совпадает со х

всем L2(dm) (читатель должен научиться доказывать это, пользуясь тем, что s4- — полукольцо, содержащее X!), поэтому интеграл (2) определен для всех интегрируемых в квадрате функций.

В частности, формула |(Л) — I (%а) доопределяет случайную функцию множества ? на всех множествах Л, принадлежащих а-алгебре 8В (на полукольце si по построению I (%а) дает прежнее значение ?(Л)). Из линейности отображения / вытекает конечная аддитивность продолжения случайной функции множества для Л1, . . ., Ап е SB, Л/ П Л/ = 0 (t ф /) имеем:

I (Л j U ... U Ап) = I (%А^ и и AJ = I (хА^ + ... +

= /(Хл,)+ ¦¦¦+1(Хап) = %(А,) + ... +1{Ап). Из конечной аддитивности ? и непрерывности отображения / легко выводится счетная аддитивность |.

Линейность и изометричность отображения / на всем пространстве L2(dm) вытекает из того, что это — продолжение по непрерывности отображения, линейного и изометричного на всюду плотном подмножестве этого пространства. Наконец, единственность такого отображения непосредственно видна из доказательства: для простых функций f мы не могли определить 1(f) по-другому, если хотели, чтобы отображение было линейно и чтобы 1 (%а) =?(Л) для А из полукольца si\ а из требования изометричности отображения вытекает его непрерывность, и нам ничего не оставалось, как произвести продолжение по непрерывности.

Теорема доказана.

Укажем еще одно простое свойство стохастического интеграла, не вошедшее в формулировку нашей

теоремы: М ^f(x)l(dx)= 0 для любой функции /е х

е L2(dm). Это получается также предельным переходом ОТ ПРОСТЫХ фуНКЦИЙ. :

58
3. Теорема Г. Пусть m — мера, вообще говоря,

бесконечная, на измеримом пространстве (X, 96 )\ пусть а-алгебра $6 порождается полукольцом подмножеств X, причем мера т(А) конечна на множествах А е и существует последовательность А\ ? ? А2 ? ... ? А„ ? ... множеств из полукольца, дающая в сумме все пространство X. Пусть ?(/1), А <= — конечно-аддитивная случайная функция

множества. Пусть значения ?(/1), /1е^, принадлежат L2(dP), причем они некоррелировины для непересекающихся множеств, М| (А) = О, DE (А) = m (Л).

Тогда выполняется утверждение теоремы 1, за исключением того, что случайная мера \ продолжается только на те множества А из о-алгебры $6, для которых т(А) С оо.

Доказательство остается тем же; условие существования последовательности Л. ? Л2 ? • - - ?

оо

— Ап ? ..., Л; е зФ, (j Лг = X, используется при до-( = i

казательстве всюду плотности множества простых

функций E ct%A., Ai^M-, в L2(dm) (т. е. в той ча-

i

сти доказательства, которую мы оставили читателю).

4. Существенной частью обычной теории меры является построение меры Лебега или, более общо, построение меры т с данной функцией распределения F (т. е. такой меры, что m(t\, t2] = F(t2)—F(t{)). Это позволяет для неубывающей непрерывной справа

функции F определять интеграл Лебега — Стилтьеса

ь

^f(t)dF(t) (он определяется как интеграл относи-

а

тельно соответствующей функции F меры т). В теории стохастических интегралов соответствующий раздел тоже есть: для случайного процесса с некоррелированными приращениями определяется стохасти-

ь

ческий интеграл ^f(t)dlt- При этом трудности, уже

а

преодоленные в обычной теории меры и интеграла, не возникают у нас вторично.

Сначала займемся изучением процессов с некоррелированными приращениями.

Пусть |f, R1, — процесс с некоррелирован-

ными (ортогональными) приращениями. Будем для

59
простоты считать, что = 0 (для того чтобы в ковариациях можно было не вычитать математического ожидания). Докажем, что существует неубывающая функция F(t), t (= Т, такая, что приращение It — ?s, s <С t, s, t ?= Т, имеет дисперсию, равную F (t) —F(s).

Пусть i0 — произвольный элемент множества Т. Для t = to функцию F положим равной 0; для t> to положим F (t) = М | lt — |2, для t < t0 определим F (t)

как —M|?<o — %tf. Доказав, что

М| h-h? = F(t)-F(s), (5)

мы тем самым докажем и монотонность F. Для /0 ^ s <С t имеем

Р щ=м 11, -!,. р=м I %,¦- f + М (i,- i,.) (IFy+

+ М(^у(?,-у + М||,-?,]!.

Обе сопряженные друг другу ковариации по предположению равны 0, а М [ f = F (s), откуда полу-

чаем (5). Для s < t ^ to выкладка точно такая же, с использованием того, что представляется в
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed