Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1. Теория случайных процессов, в отличие от более элементарных разделов теории вероятностей, проникнута духом скорее функционального анализа, чем классического математического анализа: рассматриваются в первую очередь не отдельные случайные события, случайные величины, функции, а пространства функций, случайных величин, с-алгебры событий или даже целые семейства с-алгебр, операторы в этих пространствах и т. п.
Пусть на вероятностном пространстве (Q, Р) задана случайная функция \t, t еГ. Введем о-алгебру, порожденную этой случайной функцией, — наименьшую с-алгебру, содержащую все события вида {?/ е е В], t^T, Бё^. Обозначать мы ее будем ЯГт (или ST\t, fer, если нужно будет указать, к какой случайной функции она относится):
grT = a fo, t 6= Т) = а {{?, еВ},геГ,Ве %}.
Эта с-алгебра имеет смысл совокупности всех событий, о наступлении которых можно узнать, наблюдая нашу случайную функцию.
С с-алгеброй &~т можно связать различные пространства случайных величин, порожденные случайной функцией (интуитивный смысл — случайные величины, которые можно вычислить по данной случайной функции); важнейшим из них является пространство интегрируемых в квадрате случайных величин, порожденное "gt, t ёГ:
= Тт, Р).
Ясно, что ЯГу^ЯГ и L2T^L2(Q, ЯГ, Р).
63
Др'угим важным евклидовым пространством, связанным со случайной функцией, является пространство Ht = H\v t е Т случайных величин, линейно порожденное 11, t^T. Оно определяется (в случае числовой случайной функции с конечной дисперсией) как замыкание в пространстве L2(Q, , Р) множества
всех линейных комбинаций значений случайной функции и 1:
Нт = + • • • + tn, t\, . .., 4el}
(здесь черта означает замыкание). Легко видеть, что HT^L\, потому что случайные величины вида со + + cnltn измеримы, и пределы
в среднем таких случайных величин также ^г-изме-римы. (Точнее говоря, в любом классе эквивалентных друг другу случайных величин из Нт есть случайная величина из L|.) Случайные величины из Нт — это, в сущности, те случайные величины, которые можно линейно вычислить по / еГ.
Пространство Нт — аналог пространства L2r «в широком смысле» (мы уже говорили, что в рамках корреляционной теории рассматриваются лишь линейные функции).
Пространство L\ содержит, так сказать, ту же информадию, что и а-алгебра ЗГт, но освобожденную от излишних тонкостей — всего, что касается событий нулевой вероятности. При переходе к пространству Нт «выбрасывается» еще больше информации — все, чтэ не укладывается в линейную схему.
Иногда нам придется рассматривать также пространство Нт — замыкание множества линейных комбинаций t е Т, без свободного члена: Н°г =
= {^1^+ . . . +cnlt^,t,, ..tne^T| Это —пространство
случайных величин, представимых в виде результата применения линейной операции к рассматриваемой случайной функции. Ясно, что Нт порождается под-
и о
пространством Нг и одномерным подпространством констант.
2 О
Пространства Ьт, Нт, Нт — евклидовы полные пространства; если они оказываются еще и сепарабельными, то это — гильбертовы пространства.
Задача 1. Докажите, что в L.% всюду плотно множество
случайных величин вида f ......где /-^"-измеримые
функции, ti, ..., tn е Т.
64
Задача 2. Пусть /еГ, — стохастически непрерывный случайный процесс, То — счетное всюду плотное подмножество Т. Докажите, что в L2t всюду плотно множество случайных величин вида/^1^, %t у /j, .... tn^TQ. Выведите отсюда, что пространство L2T сепарабельно. (А значит, сепарабельно и Нт? L2.^ Пространства Нт, Н^ не являются L2-пространствами—• пространствами всех интегрируемых в квадрате функций на каком-либо пространстве с мерой; но они могут быть изоморфны таким пространствам. Стохастический интеграл дает возможность установления изоморфных (т. е. линейных изометричных) соответствий этих пространств с пространствами интегрируемых в квадрате функций на числовой прямой, на чем основываются результаты гл. 4.
Задача 3. Пусть (еГ, — гауссовская случайная функция. Докажите, что совместное распределение любых случайных величин T]i, ..., г),, е Нт — гауссовское.
Задача 4*. Пользуясь результатом предыдущей задачи и изоморфностью всех бесконечномерных гильбертовых пространств, докажите, что для любого гауссовского процесса с дискретным временем или непрерывного в среднем квадратическом гауссовского процесса с непрерывным временем с M|t = 0 либо существует конечное число независимых гаусовских случайных величин т),, ...,т)л и функций fi(t), ..., /„(О, tе Т, таких, что
П
i,t = ? fi (t) t]i почти наверное, либо существуют винеров-? = 1
ский процесс wt, /е[0, lj, и функция f(t,s), te.T, se[0, 1],
i
такая, что ^ { (t, s) dws почти наверное, / e Т.
о
2. Если Т ^ R', т. е. речь идет о случайном процессе, мы будем рассматривать также следующие ст-алгебры:
