Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
5r<( = or{?s, seJ, s<i},
&~>t = o[ls, se7\
= U^T, s
Заметим, что последняя ст-алгебра состоит из всех событий {?? е В}, fief. Вводятся также пространства, порожденные частью случайной функции:
L%i=L2(Q, Р) и т. п.;
линейно порожденные:
Нщ=={со + с&1 +
ттО
и т. д.
3 А. Д. Вентцель
Наглядный смысл, скажем, @~[St ^ и L\s, t\ — такой: это — то, что можно узнать, наблюдая случайный процесс на отрезке от s до t.
Совершенно очевидны включения типа ? 3~\U, t\ при при t^t', H[s,t]?
? и т. п.
3. В ряде задач оказываются нужны сг-алгебры и пространства случайных величин, связанные с процессом еще более сложным образом.
На основе введенных нами о-алгебр ST{St t] вводятся о-алгебры
+ , - оо, •», ЯГ [S, <+1, ЯГ [«-.*]> [S-, <+],
которые, как показывают обозначения, являются предельными для ?F-^S при s-->¦/+, s -»t—,
s-»— оо, s -> -j- oo, соответственно для ст-алгебр, отвечающих конечным отрезкам временной оси,—предельными, когда эти отрезки сжимаются.
Приведем здесь точные определения только для некоторых из этих сг-алгебр: по определению
<<+ = П <S, 3F >+СО = П [S-. t\ = П i U, t\-
s>t s ц< s
Все эти пересечения — сг-алгебры как пересечения ка-ких-то множеств о-алгебр.
Наглядный смысл этих сг-алгебр такой: к &~^t + принадлежат все события, о наступлении которых можно узнать по наблюдению процесса на отрезке от
— оо до t и сколь угодно мало вправо за точку t\ к
??~> + оо — события, о наступлении которых мы узнаем по сколь угодно далеким вправо отрезкам нашего процесса; к — те, о которых можно узнать по
сколь угодно малому отрезочку налево от точки t и т. п. О ст-алгебрах ?^-оо, ??~> + оо говорят как о ст-алгебра х «хвостов» (слово «хвост» в математике употребляется, когда от функций берутся отрезки, определенные в окрестности бесконечности).
Задача 5. Пусть ?ь .. . , %п, ... — последовательность случайных величин. Докажите, что следующие подмножества пространства элементарных событий принадлежат Sr>_|_OQ: { Пт | =
/1-> оо п
— а); {существует конечный предел %„ при я—>-оо}.
Приведем пример, показывающий отличие ст-алгебры Sr<i + от ?Г<t. Пусть Т — [0, оо), и траекториями \t являются все непрерывные функции. Положим т(о)) = inf {^: > 1} или -j-oo,
66
если таких t не существует. Событие {т ^ 2} принадлежит сг-ал-гебре Зг<9+ (пока это не доказано, точнее было бы говорить не событие, а множество).
Действительно, легко видеть, что
ОО
{г<2}=П U {^>4 W
п = 1 рац. t
0< <<2+l/rt
(непрерывная функция тогда и только тогда где-то на отрезке [О, 2+1 /п\ выходит за уровень I, когда она больше 1 в какой-нибудь рациональной точке этого отрезка). События {?< > 1} здесь входят в &~<2+ija' значит. их счетная сумма тоже принадлежит этой а-алгебре. Далее, пересечение в (1) можно взять не от 1 до оо, а от любого натурального п0 до оо; тогда все события, участвующие в этом пересечении, будут принадлежать ^<2 + 1/^ (вель 3r<2 + 4n-sr<2 + \lni ПРИ п>%). Итак, событие {т ^ 2} принадлежит любой из сг-алгебр ^^2 + 1 /п„- Значит, оно принадлежит любой а-алгебре &~<^t ПРИ ^>2: ведь для любого t >¦ 2 можно взять п0 такое, что 2 + 1/л0 < t, и тогда имеем {т sj; 2} е 9~<2 + \/По — ^"< г Наконец, заключаем, что
{т<2}е П &
t> 2
В то же время событие {т ^ 2} не принадлежит а-алгебре наблюдая процесс только до момента 2, мы не всегда можем сказать, наступил уже момент т или пет (рис. 7). Точный вариант этого наглядного соображения: доказывается, что для любого события из соответствующее множество траекторий
вместе с каждой траекторией содержит любую другую, совпадающую с ней на отрезке [0, 2]; левая траектория не принадлежит {т sc 2}, а правая — принадлежит, значит, {т^2}^^<2
Для ст-алгебр ^^_оо, ^> + оо мы не можем указать значений случайного процесса, которые заведомо измеримы относительно них; это дает возможность предположить, что они в каком-то смысле вырождаются в тривиальные ст-алгебры. При некоторых условиях, касающихся зависимости \t при разных t, для ст-алгебр ^> + оо выполняется закон нуля
или единицы (о законах 0—1 мы впервые говорили в § 1.3, п. 2а2)).
3*
67
Задача 6 (закон 0—1 Колмогорова). Пусть Sji, ...
независимы. Докажите, что Р (Л) = 0 или 1 для любого события
А е ^>4 00-
В частности, согласно задаче 5, последовательность независимых случайных величин либо с вероятностью 1 сходится, либо с вероятностью 1 расходится; легко доказать, что это касается и рядов с независимыми слагаемыми, средних арифметических (?! + ... + ъ„)/п И т. п.
