Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
@~\s + h,t + h]- Аналогично переходит в ZF^-t + h,
переходит в &~^t + h для Т — R1 или Z1, а если Т — R+ или Z + , то переходит в 3~\h,t + h\ (понятно,
почему: ведь в этом случае = ЗГ\о, <]). Читателю предлагается самому подробно провести доказательство:
Задача 1. Пусть Т= [0, оо). Докажите, что для любого события А е т = его сдвиг 0л1А е •
Любое случайное событие из а-алгебры SFT, порожденной случайным процессом, под действием оператора 0л ' переходит в событие, т. е. в подмножество Q, принадлежащее . События, не принадлежащие Тт, могут под действием оператора 0л 1 переходить в подмножества, не являющиеся событиями.
Что касается случайных величин, то величина, измеримая относительно переводится оператором
0„ в случайную величину, измеримую относительно
lh-hs, h-ht\, И Т. Д.
Однако неверно, что операторы 0Л переводят L2S ц или ^ в L2yh + S л + <| или Я|Л + 5 h+t\- Операторы 0* вообще могут быть неприменимы к элементам L2. Ведь элементы L2 — это не случайные величины, а классы эквивалентных друг другу случайных величин, и из того, что г)[ ~ т)2, может не вытекать, что ОлТ)! ~ ~ 0лТ]2. Здесь дело в том, что а-алгебры ys ^ и прочие и операторы О/, определяются совершенно независимо от вероятностной меры Р, а пространство L2 тесно связано именно с мерой. В пп. 4, 5 мы покажем, что для стационарных процессов операторы сдвига переводят эквивалентные случайные величины в эквивалентные и что они действуют, таким образом, на порожден-
71
пых процессом пространствах L2t и Нт (для стационарных процессов в широком смысле).
3. До сих пор мы требовали существования и единственности со+ такого, что (со+) = lt+h (со). Это требование довольно ограничительно; в частности, из него вытекает, что двум различным элементарным событиям не может соответствовать одна и та же траектория. Оказывается, если требовать только существования, но не единственности со*, операторы 0* 1, 0* можно определить — правда, в применении не ко всем подмножествам й (функциям на Q), но во всяком случае, ко всем подмножествам (функциям), измеримым относительно ?ГТ.
Допустим, что есть два элементарных события со+> и со+2 таких, что (со+‘) = ^ (со+2) = (со); до-
кажем, что для случайного события А е ЯГТ либо и “(Г* и “л2 принадлежит А, либо оба не принадлежат. Обозначим через si систему множеств, которые либо содержат и со+‘ и со+2, либо не содержат ни одного из этих элементарных событий; легко видеть, что si — ст-алгебра, она содержит события е S], t^T, йёЖ; значит, она содержит минимальную а-алгебру, содержащую все эти события: si^-STr-
Таким образом, в определении А — {ш: co/t е Л} все равно, какое из элементарных событий со+ брать
Аналогично, если т] — ^/-измеримая случайная величина, то т] (со+') = т] (со+:2), так что 0лт] (со) определяется однозначно. Действительно, иначе существовало бы множество йеЖ (96 — а-алгебра, заданная в пространстве, в котором принимает значения т); по условию она содержит все одноточечные множества) такое, что принадлежит ему, а т] (со^2) не при-
надлежит; но тогда множеству {т] <ее В} е &~т будет принадлежать со^1, а со+2 не будет, что невозможно.
4. Определим операторы сдвига в случае, когда I* — стационарный процесс, не вводя никаких предположений относительно существования а»л. Для слу-
u -j т 2
чайной величины rjGLr вида
л = /(Ц, tv...,tn^r, (1)
72
положим
^/>*1 ~ f Q'tj+h’ ¦ ¦ ¦ > (2)
Докажем, что оператор 0/, осуществляет изометрическое отображение L% в себя; для этого вычислим М | О*!! f:
М10Лт| |2 = М | ffri+h, I2 =
=§ ¦ ‘ ¦ S i ^ ¦ ¦ ¦ ’ i ^ti+h- ¦¦¦• tn+h №Xi''' ^Xn)=
X X
= \ ••• S|f(^......-„)|2^,....tn(dxi ¦¦¦ dXn) =
X X
= M| ---------^/„) |2 = M | Л l2-
Это, прежде всего, показывает, что определение, даваемое формулами (1), (2), корректно. Дело в том, что одна и та же случайная величина ц может, вообще говоря, иметь различные представления (1), причем соответствующие величины (2) могут не совпадать. Но если
Л = f (Ev • - •. lt J = g (Ц, • • -, ^ J
(хотя бы только почти всюду), то
М|/(Ч+. ¦ ¦ - ’^>tn+h)~ 8 (^St+h’ ¦¦¦’ ZSm+h) | =
= м|/(Б,1.-.БО-^,.-.БОГ = 0.
так что 0hTi определяется однозначно с точностью до множеств вероятности 0, т, е. однозначно как элемент L2.
Оператор 0/, стандартным образом продолжается по непрерывности на замыкание множества случайных величин вида (1), т. е., согласно задаче 1 § 3.2, на все Lt', при этом изометричность сохраняется.
Для стационарного процесса можно определить и операторы 0^-4 действующие на события из SFt,—¦ тоже с точностью до событий вероятности 0. Событие определяется как такое, индикатор которого почти наверное равен 0дхл; при этом приходится
73
доказывать, что 0лХл почти всюду равно 0 или 1. Точно так же операторы 0Л можно распространить на не-интегрируемые случайные величины, положив, например, 0лГ] = tg 0Л arctg Г].
