Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Передача сигналов с помощью монохроматической волны невозможна из-за ее однородности в пространстве и во времени, поэтому сигнал всегда имеет некоторый спектр частот и распространяется со скоростью, вообще говоря, отличной от и.
Согласно 'формулам (2.18) электрическое иоле волны, переносящей сигнал, представляется в виде
E (i) = Ref E0 (со) e'(ftz—а/) da,
(46.04)
где вектор Eo1(iO)) кроме частоты со зависит еще от поперечных координат X и у, а продольное волновое число h есть функция частоты. В таком же виде записывается магнитное поле. Ниже мы будем рассматривать какую-нибудь одну составляющую поля при фиксированных значениях х я у, обозначая ее через f(z, t). Вместо выражения (46.04) используем более удобную запись
/(2, /) = ReJ F (о) e'tMoJz—со/] d (O1
(46.05)
в которой явно фигурируют все существенные аргументы рассматриваемых функций.
Интеграл (46.05) легко вычисляется, если при всех частотах /г (со) =ш/с, где с — постоянная; такая зависимость h от со реализуется для плоских волн в пустоте (см. § 12). При такой зависимости выражение (46.05) принимает вид
ИИ
f(z, 0 = Rej/7He-toC-^dСО = /(0, / —Z/c). о
(46.06)
В дальнейшем будем называть f(0, t) начальным сигналом, предполагая, что его посылают из точки 2 = 0, и следить за тем, в каком виде он придет в любую точку z>0. Формула (46.06) пока- ^ Лы зывает, что при Л (со) = ю/с сигнал распространя- рис- 49. Спектр уз-
¦ется без искажения и в точке z>0 появляется, кополосного сигна-
, ла (квазимонохро-
запаздывая на время Zi с, т. е. с есть скорость матИческой вол-
его распространения.
иы)
169 При иной зависимости А от в ситуация усложняется и интеграл (46.05) так просто не вычисляется. Прибегнем к аппроксимации, предполагая, что сигнал узкополосный, имеет достаточно узкий спектр, т. е. функция Z7(Co) практически отлична от нуля лишь при со«too (рис. 49), где (O0 — несущая частота. Тогда функцию А (со) можно заменить первыми двумя членами ряда Тейлора
А (со) = A ((O0) + (Co0) (M--CO0) (46.07)
а ш
И
. Г dh ,
1 I- ((O0) Z-/ ((O-(O0)
j/^eW^-a'UcO ^eiWbMz-ftVl jf(ffl)e L rfu) J d CO.
Чтобы понять смысл получающегося выражения, надо учесть, что узкополосный начальный сигнал /(0, t) всегда задается в виде
/(О, t) = Re(?(Ое-'»»'}, (46.08)
где & (t) — комплексная огибающая начального сигнала, определяемая интегралом
OO
» (t) = Jf (со) е-'«"-®»)' d со (46.09)
о
и являющаяся медленно изменяющейся функцией времени t (по сравнению с e_i(0oi). Медленное изменение S{t) следует из того, что интеграл (46.09) фактически распространен (рис. 49) на небольшую окрестность частоты соо; если 2Асо — ширина частотной полосы, занятой сигналом (Асо<Ссоо), то в интеграле (46.09) |со— —coo I <Асо и & (t) изменяется не быстрее, чем е^иг, и значительно медленнее, чем е_к0°'.
При амплитудной модуляции изменяется абсолютная величина &(t), которую обычно называют амплитудой или огибающей сигнала. При частотной или фазовой модуляции изменяется фаза комплексной функции t). Во всех случаях информацию переносит комплексная огибающая S'(t). Аппроксимируя функцию А (со) выражением (46.07), получаем функцию f(z, t) в виде
/ (г, t) = Re {S (t—z/v) e-^oU-z/u) Ji (46.10)
где
и = со0/А (со0), 0=1/— (со0) = (d w/dh)^ . (46.11)
/ da>
Таким образом, комплексная огибающая и высокочастотное заполнение перемещаются с разными скоростями. Заполнение перемещается с фазовой скоростью и, введенной выше формулой (46.03), в которой надо заменить со на соо- Комплексная огибающая движется с групповой скоростью v: с этой скоростью передается энергия сигнала, пропорциональная \&(t)\2, и связанная с ним информация.
170 Термин «групповая скорость» объясняется тем, что рассматриваемый сигнал (46.05) с узким спектрам частот называется группой волн или квазимонохроматической группой; последнее название подчеркивает узость спектрального состава. Групповую скорость можно назвать просто скоростью сигнала, поскольку вся информация передается комплексной огибающей, а не высокочастотным заполнением.
Заметим, что в механике скорость материальной точки определяется единственным образом, а при анализе волновых процессов приходится вводить фазовую и групповую скорости, а также ряд других скоростей (см. далее). Это объясняется тем, что отдельные монохроматические волны, входящие в состав сигналов, распространяются в общем случае с различными фазовыми скоростями, и вследствие этого форма сигнала при его распространении искажается. По этой причине получаем различные значения скоростей в зависимости от того, за каким признаком сигнала следим при его перемещении.
Зависимость фазовой скорости (46.03) от частоты называется дисперсией. Постоянство фазовой скорости — это отсутствие дисперсии, тогда отношение /г (to)/со постоянно и справедливо выражение (46.06), согласно которому групповая скорость равна фазовой. Наоборот, равенство этих скоростей при всех частотах приводит к их независимости от частоты (см. задачу 1).
Отметим, что при наличии дисперсии групповая скорость лишь приближенно характеризует распространение сигнала. Дело в том, что к понятию групповой скорости и формуле (46.10) приходим, заменяя h('со) линейной функцией (46.07). Если произвести уточнение, учесть следующие члены ряда Тейлора, то окажется, что при достаточно больших 2 приближенное выражение (46.10) значительно отличается от точного выражения (46.05). Это происходит потому, что малые поправки к формуле (46.07) умножаются в интеграле (46.05) на z.
