Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 48 *. Скорость движения энергии
Рассмотрим (см. § 8) электромагнитную волну, имеющую комплексную частоту
Q = CD-HY, (48.01)
т. е. нарастающую или затухающую (в фиксированной точке пространства) по экспоненциальному закону. Электрическое и магнитное поля такой волны при ее распространении по оси z имеют вид
E (i) = Re (E0 eWW^]}, H (0 = Re (H0 eWW*-^]}, (48.02)
где Zi(Q) — волновое число, соответствующее частоте Q. При достаточном малом у (достаточно медленном изменении амплитуды поля в фиксированной точке)
Л (Q) = Л+ — і V, (48.03)
d<?>
где Л = Л (со) и производная dli/da соответствуют уже вещественной частоте со. Пользуясь формулами (48.01) и (48.03), получаем
ехрі [h (Q) Z—Qi] = ехрі {hz—<at)-exр v г — ^J . (48.04)
Этот множитель определяет зависимость электромагнитного поля данной волны от 2 и і, Первый множитель правой части (48.04) определяет быстро изменяющуюся фазу электромагнитного поля, которая распространяется с фазовой скоростью и=<о/Л. Второй множитель определяет (медленно изменяющуюся) амплитуду поля, перемещающуюся с групповой скоростью v = d(n/dh. Эти соотношения можно применить также к распространению плоских электромагнитных волн в однородной среде (см. § 11); при этом нужно заменить волновое число h на K=kVец. Однако мы пока ограничиваемся средами без потерь, поскольку во всем предыдущем анализе групповой скорости предполагали волновое
176 число h вещественным, и сейчас должны считать проницаемости є и р вещественными и положительными.
С помощью комплексной частоты можно также исследовать распространение фронта (см. § 46). Действительно, считая в формуле (48.01) величину 7 достаточно большой и положительной, получаем волну с крутым фронтом, переходящим при у-»-оо в бесконечно крутой фронт. В этом случае, разумеется, формула (48.03) неприменима, так что фронт распространяется не с групповой скоростью. Если фазовая скорость удовлетворяет соотношению
Iim и = Iim соIh = с, (48.05)
Cl)-* OO 0)-*ОО
которое для реальных сред и линий передачи всегда выполняется, то при у->-оо можно считать h (Q)=Qjc и вместо формулы (48.04) получаем
ei[MQ)z-a*] = e!a(z/c_<)i (48.06)
так что фронт волны распространяется со скоростью с.
Физический смысл соотношения (48.05) заключается в том, что волны достаточно высоких частот проходят, например, через диэлектрик как через пустоту, поскольку вследствие своей инерции электроны (а тем более атомы или молекулы диэлектрика) в колебаниях достаточно высокой частоты принимать участие не могут. Таков же смысл выражения (48.06): достаточно крутой фронт проходит через вещество как через пустоту, поскольку за время его прохождения вещество включиться в электромагнитный процесс не успевает.
Вывод формулы для групповой скорости, данный в этом параграфе, не может иметь самостоятельного значения, так как, в отличие от § 46, здесь рассмотрена квазимонохроматическая волна вполне определенного вида. Этот вывод приведен, чтобы подчеркнуть металлическую связь групповой скорости и электромагнитной энергии (см. § 8): для рассмотрения обоих понятий необходимо пользоваться переходными процессами, например процессами с комплексной частотой (48.01). Оказывается, что групповую скорость можно представить в виде
V = S Jw, (48.07)
где ©z — среднее значение составляющей вектора Умова — Пойнтинга, a W—среднее значение плотности электромагнитной энергии. Для незатухающих плоских волн в однородной среде без потерь усреднение происходит по времени [в этом случае правильность формулы (48.06) можно проверить непосредственно, см. задачу 3], ДЛЯ ВОЛН В ЛИНИЯХ передачи нужно еще усреднить ©2 и W по по-. перечному сечению, после чего ©z и W будут удовлетворять уравнению
ж + %-=0 (48-08)
(см. задачу 4).
177 Выражение (48.07) находится в соответствии с идеей Н. А. Умова, который приписывал энергии определенную скорость движения V и представлял вектор © в виде <5 = w\. Можно показать в общем виде, что в задаче о распространении квазимонохроматической волны скорость движения энергии связана с распространением сигнала.
Пусть производится измерение мощности приходящей волны при некотором фиксированном значении координаты z: это значит, что измеряется ©г как функция t. Момент прихода т данного сигнала определим формулой
T= \tZzdtl\®zdt, (48.09)
где интегрирование производится по t от —оо до оо. Считаем, что сигнал имеет конечную продолжительность (точнее, поток энергии ©z достаточно быстро убывает при ^-v±oo), поэтому все интегралы сходятся. Очевидно, что т характеризует приход центра сигнала в данную точку z и скорость распространения сигнала, естественно, определяется как dz/dr. При этом сигнал может сильно деформироваться при -своем распространении. Образуем производную
\td3^dt Г ^®LAf<@l(o
= _дг--дг _----(48 10)
dz \<Szdt [\<5zdt]2
С помощью уравнения (48.08) получаем тождества Г dt=- г ^dt = о, [td-^-dt=~
J dz J dt J dz
— Г t — dt = f wdt, J dt J
полагая ш-»-0 и 0 при f->-±oо. Соотношение (48.09) принимает вид
