Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ит I wdt
— = -?- . (48.11)
dz j <SZ dt
Для квазимонохроматического сигнала можно положить
f wdt ™
j-z- = # , (48.12)
J <Zzdt <SZ
где правая часть вычисляется для монохроматической волны (с несущей частотой сигнала). Таким образом, скорость центра совпадает ico скоростью (48.07). Поскольку їв § 46 показано, что в отсутствие затухания сигнал (точнее, его комплексная огибающая) распространяется с групповой скоростью, то с той же скоростью движется и его центр. Отсюда видно, что групповая скорость и скорость движения энергии всегда совпадают.
178 Надо отметить, что вычисление групповой скорости по энергетической формуле (48.07) обычно іболее громоздко, чем по формуле (46.11). Однако проведенный выше анализ показывает, что на больших расстояниях, где сигнал заметно исказится (см. конец § 46), его центр по-прежнему будет перемещаться с групповой скоростью, равной скорости движения энергии на не'сущей частоте.
Во многих работах (а также в первом -издании этой книги) скорость движения энергии вводилась и при наличии потерь, когда волны распространяются с затуханием. Вообще говоря, против введения этой величины трудно возражать, однако к распространению сигналов она имеет лишь косвенное отношение. Это объясняется в первую очередь тем, что при наличии потерь нельзя однозначно определить плотность электромагнитной энергии (ом. § 8). Например, комплексные проницаемости є (со) и ц (со) позволяют полностью рассчитать передачу сигналов плоскими волнами, однако скорость (48.07) содержит произвол из-за неопределенности w. Кроме того, при учете потерь соотношение (48:11) приобретает дополнительные слагаемые, которые нельзя оценить, не зная, как распространяется сигнал. А если это известно, то расчет скорости (48.07) мало что дает.
§ 49*. Влияние затухания на распространение модулированных волн
Причина деформации комплексной огибающей при распространении без затухания была указана в конце § 46: это — непостоянство групповой скорости в пределах полосы частот (конечной, хотя и узкой), занятой сигналом. Если волны при своем распространении затухают, то происходит дополнительная деформация из-за непостоянства коэффициента затухания в той же полосе. Начальную стадию дополнительной деформации легко исследовать, если с самого начала считать волновое число А комплексной функцией частоты и воспользоваться выражением (46.07) в окрестности несущей частоты и0- Тогда вместо выражения (46.10) получаем
/(г, A=Re {g(t—Ii1Z) eXM-fM)}, (49.01)
где введены сокращенные обозначения
A0=A(M0)1A1=^-K). (49.02)
dcu
Поскольку A0 и Ai комплексны, функция f (z, t) с ростом Z затухает (из-за экспоненты е1Л°г), а огибающая S искажается (из-за комплексности аргумента t—hiz). Характер и причину искажения легче всего пояснить на простейшем примере. Пусть
F((o)=tFo при I ю—M01 < Дм,
Z7(M)=O при |м—м0|>Дм, (49.03)
179 тогда по формуле (46.09)
сіп Ллч"/ piA(u<_р—ІД(ОІ
g(f) = 2 F0 = F0 ---- . (49.04)
При условии
|Imfti|Ata>2«l (49.05)
искажение огибающей S под влиянием затухания практически не проявляется. Этот результат имеет общее значение и на словах может быть сформулирован так: чем слабее зависимость затухания от частоты, чем уже полоса сигнала, и чем меньше расстояние, тем меньше искажается комплексная огибающая При противоположном условии
|1тА,|Амг»11 (49.06)
огибающая S искажается до неузнаваемости и, в частности, в формуле (49.04) для S (t—Aiz) практически остается только одна экспонента. Будем для определенности считать ImAi>0, тогда формула (49.01) примет вид
/ (2, 0 = Re If0 «Р j 1(?.-?! а <0)2-(анг-А\ (4907)
І і (t — hxz) і
Отсюда видно, что при условии (49.06) модулированная волна полностью изменилась. При z=O она модулирована по амплитуде в соответствии с формулой (49.04) и имеет несущую частоту ©о-Ha расстояниях, где выполняется условие (49.06), она имеет несущую частоту шо—Am, комплексное волновое число Ao—Ai Am я? »A(fflo—Am) и совершенно иную амплитудную модуляцию, определяемую множителем 1/| t—iAiZ I; максимум амплитуды реализуется при /=ReAb т. е. этот максимум движется со скоростью V = = 1/ReAi.
Таким образом, распространяющаяся волна не похожа на первоначальный сигнал. Происходит это потому, что при распространении с затуханием сигнал не только ослабляется, но еще изменяется форма его спектра, которая определяется функцией
S («в, z) = J Z7(м) j 2ехр {—2[Im А (м) —Im А (м0) ]z}. (49.08)
В рассмотренном выше примере начальный спектр — прямоугольный (рис. 53,а), а затухание увеличивается с частотой. Эволюция формы спектра при последовательном увеличении z показана на рис. 53,6 и в. -При существенно больших г спектр уже сосредоточен вблизи наименьшей частоты Mm = Mo—Am, которая является эффективной несущей; при этом скорость амплитудного максимума должна быть равная = 1/Re—(м0—Дм), а не v= 1/Refti, как по-
лучается по приближенной формуле (49.01).
Фактически спектр любого сигнала простирается от © = 0 до ю = °о, а не ограничен полосой |ю—m0|<A<u, как это предполагалось выше. Поэтому при неограниченном увеличении г максимум
