Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
д2? 1 o2T
—— +--'-=0, (47.10
дг2 ^fс2 dt2
в котором сохранены лишь старшие производные (производные второго порядка), совпадают. Уравнение (47Л0) есть обычное волновое уравнение, или уравнение Даламбера. Его решения — это волны, бегущие со скоростью с. С той же скоростью перемещается разрыв, соответствующий фронту волны, удовлетворяющей уравнению (47.09). Аналогичным путем можно найти скорость фронта для волны, подчиняющейся телеграфным уравнениям (см. задачу 2).
Физический смысл формул (47.01) и (47.05) всего легче понять на примере волны Hi0 в прямоугольном волноводе, которая разлагается на две плоские волны (§ 44). Рассмотрим (рис. 51) одну из плоских волн. Если плоская волна распространяется в направлении 1, то ее фазовые плоскости перемещаются в направлении 1 со скоростью с. В направлении оси z скорость перемещения этих плоскостей оказывается больше с:
и = с/с os®. (47.11)
Это и есть фазовая скорость волноводной волны. Учитывая, что по формулам (44.12)
cos& = h/k= VI— (g/k)2, (47.12)
видно, что формула (47.11) эквивалентна формуле (47.02). Как видно из рис. 51, длина волны в направлении оси z
A=VcosO. (47.13)
Величина А определяет периодичность поля вдоль оси волновода, это — волноводная длина волны.
Для вычисления групповой скорости необходимо рассмотреть, например, распространение амплитудно-моделированной волноводной волны, амплитуда которой зависит от z и t. Разложение такой модулированной волноводной волны ведет к плоским волнам, амплитуда (огибающая) которых непостоянна. Это значит, что в плоскости равной фазы каждой плоской волны, схематически изображенной на рис. 51, амплитуда на прямой 1 несколько отличается от амплитуды на параллельной ей прямой V. Из геометрической оптики известно, что энергия волны перемещается в направлении лучей, являющихся нормалями к волновым поверхностям (поверхностям равной фазы), т. е. в данном случае по прямым 1 или 1'. Дойдя до поверхности стенки волновода, энергия отражается от нее и продолжает распространяться в направлении отраженного луча, который образует с осью волновода z тот же 174 X
1 1
Г
Z
Рис. 51. Фазовые плоскости и поток энергии в плоской волне, иллюстрирующие фазовую и групповую скорость волн в волноводе
угол ft, что и первоначальный луч. , "
Скорость распространения энер- г Ю
гин вдоль каждого луча равна С. Рис. 52. Сжатие и расширение час-
Таким образом, распростране- тотно-модулированных импульсов
ние энергии, заключенной в некотором цилиндре с образующими 1 и 1', происходит по зигзагообразному пути, каждое звено которого наклонено к оси z под углом О. Поэтому скорость перемещения энергии ПО ОСИ Z
U = CCOSft. (47.14)
Это и есть групповая скорость, вычисленная ранее [см. формулу (47.05)]. Заметим, что одна и та же причина — несовпадение направления распространения плоских волн с осью волновода — приводит к увеличению фазовой скорости и уменьшению групповой скорости по сравнению с теми же величинами для свободного пространства. Различие между этими скоростями возникает вследствие того, что они определяют скорость движения различных физических признаков волны, распространяющейся в волноводе. Скорости и HV удовлетворяют соотношению (47.06).
Деформацию модулированной волны при распространении в волноводе (см. конец § 46) частично можно учесть в рамках геометрической оптики. Пусть, например, из сечения z=0 посылаем по волноводу длинный импульс с медленно изменяющейся частотой. Различным частотам соответствуют различные значения k, h и ft. Углы ft могут быть распределены в пространстве, например, так, что лучи собираются вблизи точки F — фокуса (рис. 52,а) или же расходятся от точки F' — мнимого фокуса (рис. 52,6); с волноводной точки зрения это означает, что импульс, вступающий в волновод при Z=0, вследствие частотной модуляции сжимается при Ztt-Zp (с последующим расширением) или же сразу расширяется. Формула (46.10) относится к таким расстояниям, когда непостоянство углов ft еще не успевает сказаться.
Если же волна модулирована только по амплитуде, например имеется прямоугольный высокочастотный импульс, то в приближении геометрической оптики распространение такого импульса в волноводе происходит без изменения его формы. Фактически же
175 при своем распространении импульс деформируется. Это явление можно отождествить с диффракцией, испытываемой пучком параллельных лучей (плоской волной с конечным поперечным сечением). Под влиянием диффракции сечение волны расширяется, т. е. лучи как бы начинают расходиться (см. гл. XVII). Прямоугольный импульс в волноводе можно представить как пучок параллельных лучей, которые претерпевают последовательные отражения от стенок волновода: его расширение происходит так же, как и расширение пучка лучей в свободном пространстве. Оно подчиняется законам диффракции Френеля.
Оказывается, что деформацию комплексной огибающей (как лучевую, так и диффракционную) можно вычислить, учитывая в разложении Тейлора (46.07) следующий член. Однако этот подход приводит к громоздким соотношениям, которые здесь приводиться не будут.
