Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Сказанное можно иллюстрировать следующими соотношениями: положим
ер = еоро+11, Ao2=^2Eo1Po-g2, (50.03)
где ео и ро вещественны и положительны; тогда формула (50.02) приобретает вид
h=V hl + 4k\ (50.04)
и если величина rj мала по абсолютной величине, то
h = ho + y\k2/2ho. (50.05)
Если A0>0 и ті = і|ті|, то поправочный член в формуле (50.05) чисто мнимый, он определяет затухание распространяющейся волны. Если же Ao = i IA01 и ті = і|г)|, то поправочный член вещественный, он дает для затухающей волны малую вещественную часть, продольного волнового числа, т. е. конечную фазовую скорость.
Однако формула (50.05) применима только при ті&2<сА02 и вблизи критической частоты, когда |Ао|-»-0, дает неправильные
185 результаты, в то время как формула (50.04) применима при любых частотах и при h0 = 0 дает простой результат h = kVті-
Из приведенных выше простых соотношений видно, что достаточно малые потери вызывают малое возмущение волн в волноводе. Данное в гл. VII разделение волн на распространяющиеся и -затухающие правильно передает их основные черты при частотах, •не слишком близких к критической частоте каждой волны. Наличие потерь в волноводе делает, однако, скачкообразный переход от распространения к затуханию при критической частоте данной волны непрерывным, размытым.
Из этих соотношений следует также методический вывод: если метод возмущений приводит к формуле вида (50.05), не применимой при /г0->-0, то это отнюдь не означает, что метод возмущений не годится. В этом случае надо такую формулу заменить формулой вида (50.04), т. е. искать малую поправку, пропорциональную <г], не для h, а для h2.
§ 51. Волноводы с конечной проводимостью стенок
При изложении теории волноводов предполагалось, что стенки волноводов обладают идеальной проводимостью. Разумеется, в реальных условиях проводимость стенок всегда конечна. Конечная проводимость стенок может быть учтена с помощью приближенных граничных условий Леонтовича, применимых при сильном скин-эффекте (см. § 25 и 26). Так как волноводы обычно используются в сантиметровом диапазоне, где толщина скин-слоя имеет порядок микрона или даже меньше (см. § 12), то скин-эффект в •металлических стенках волновода является сильным и можно записать на поверхности стенок граничное условие
[пЕ] = — Hn [пН]] (51.01)
(см. § 25). Волновой импеданс ? металлов есть безразмерное комплексное число, имеющее весьма малую абсолютную величину (см. начало § 26). Если положить 5 = 0. то граничное условие {51.01) принимает вид
[пЕ] =0, (51.02)
т. е. переходит в граничное условие Et=0 для идеально проводящих стенок, и мы возвращаемся к развитой выше теории волноводов с идеально проводящими стенками. Малость параметра Z означает, что структура электромагнитного поля волны в волноводе с металлическими стенками мало отличается от структуры поля в волноводе, стенкам которого приписывается идеальная проводимость. Затухание волн, вызываемое омическими потерями в стенках волновода, обычно невелико (см. § 52). Однако при достаточно большой длине волновода как линии передачи полное затухание может быть весьма ощутимым, поэтому важно знать коэффициент затухания.
184 Обозначим через h" коэффициент затухания волноводной волны по полю. Если обозначить через 2(z) активную мощность, переносимую волной через поперечное сечение волновода Z, то при наличии потерь
S (?) - 2 (0) е-2Л"г (51.03>
(для волны, распространяющейся в положительном направлении оси z). Поэтому
— d^/dz = 2h"2 . (51.04)
Применим теперь теорему об активной мощности (§ 6), для чего воспользуемся соотношением
— div® = p, (51.05)
получающимся из уравнения (6.10) путем приравнивания его вещественных частей. Соотношение (51.05) есть закон сохранения энергии в дифференциальной форме: р согласно формуле (6.10) есть среднее значение объемной плотности электрических потерь в стенках, поскольку в данной задаче магнитные потери и сторонние токи отсутствуют, а
S = J- Re [EH*] (51.06)
8я
согласно формуле (6J15) есть среднее значение вектора Умова — Пойнтинга. Проинтегрируем соотношение (51.05) по всему поперечному сечению волновода 2 = const, включая, его стенки, и воспользуемся двухмерной теоремой Гаусса — Остроградского (см. также § 33 и задачу 4 к гл. VIII)
(51.07)
где C0 есть контур в плоскости 2=const, ограничивающий сечение S1 и проведенный внутри стенок волновода на такой глубине, что поле на контуре Со можно считать равным нулю. Так как интеграл
P = ^pdS (51.08)
s±
дает среднюю мощность потерь на единицу длины волновода (погонную мощность потерь), а введенная выше величина
2= $®zdS, (51.09)
sx
то окончательно из соотношения (51.05) получаем
—d Jildz = P, (51.10)
т. е. скорость убывания мощности волны при ее распространении вдоль линии определяется потерями в линии.
185 Пользуясь формулой (51.04), получаем выражение для коэффициента затухания
которое является в принципе совершенно точным, если под 2 и P понимать точные значения для волновода со стенками конечной проводимости. Заметим, что при сильном скин-эффекте погонную мощность потерь P можно вычислять по формулам (26.04) и
