Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Все значения v целые, если а = я, я/2, я/3, я/4,...
5. Показать, что при целом v представление (44.15) переходит в представление (22.16). Проверить, что при нецелом v выражение (22.16) не удовлет-
166 воряет уравнению Бесселя (ср. с задачей 2 к гл. III), а выражение (44.15) — удовлетворяет. Для волн в круглом волноводе с клиновидной перегородкой написать представление, обобщающее (44.13), воспользовавшись решением задачи 3.
Решение. На вертикальных частях пути интегрирования (см. рис. 46,6) ^ = +я _ і t (0 < t < оо), eHgrsimt-v«!)) = e-jf/-sh/+ivrt4-v<
и при целом V подынтегральные функции совпадают, если t одно и то же, и интегралы по этим частям взаимно уничтожаются. Остается только интеграл по отрезку —я<г|;<я, т. е. выражение (22.16).
Когда в задаче 2 к гл. III выражение (22.16) подставлялось в уравнение Беосел'я (22.04), последнее удовлетворялось благодаря периодичности подынтегральной функции. При нецелом т интегрирование по частям оставляет отличные от нуля слагаемые вне интеграла, и уравнение Бесселя не удовлетворяется. Если те же операции производить с интегралом (44.16), то слагаемые вне интеграла исчезнут, так как e_frshi+vi->-0 при t->~оо. Функции (44.14) при у>0 можно представить в виде
П 10°/ W е'8^00311'+^'"1''^ f (т|5) = C1 еіуф + C2 е"1^,
—Я—і OO
поскольку тогда интеграл сходится; при у<0 пределы надо брать другие.
6. Вывести уравнения (45.04) и (45.06) для волн Emn и Hmn в коаксиальной линии. Исследовать эти уравнения, используя приближенные выражения (22.07) и (22.09) для функций Jm и Nm и, в частности, получить формулы (45.07) и (45Л8). Особое внимание обратить на случай Ь»а, когда b—а<^а.
Решение. Условия (45.03), примененные к функция Пе, приводят к уравнениям
CJm (ga) +DNm (ga) =0, CJm (gb) +DNm (gb) =0,
а уравнение (45.04) есть условие, при котором эти уравнения имеют отличные от нуля решения для С и D. Для функции Пт должны выполняться граничные условия (45.05), которые приводят к уравнениям, в которых вместо функций Jm И Nm стоят ИХ производные J'm и N'm, т. е. к уравнению (45.06).
Если в уравнение (45.04) вместо Jm и Nm подставить выражения (212.07) и (22.09), то оно примет вид
sin —а) = 0, откуда g=nnl(b—a), л= 1,2,... (а)
Однако приближенные выражения (22.07) и (22.09) можно применять только при условии
ga=nna!(b—а) >1, (Ь)
т. е. либо при либо при Ь^а. Если п=>> 1 и отношение (6—a)ja не мало,
то условие (Ь) выполняется с натяжкой и приводит к формуле <(45.08) для волны ?01-
Аналогичным образом исследуется уравнение (45.06), В КОТОрОМ J'm И Nfт получаются дифференцированием только тригонометрических функций в выражениях (22.07) и (22.09), что законно гари х>1. Мы опять приходим к приближенному уравнению ,(а) и :к формуле (45j08) для волны #0i-
167 Исследование несимметричных магнитных волн Hmu в частности волны Hn, производится иначе. Предположим для простоты, что и введем г0=(а-1-
+ Ь)/2. Тогда можно написать приближенное выражение
J'm (Sb) ~ J'm (gr„) + J"m (gr0) g(b- r0) = J'm (gr0) —
—J'm te'o) (b—r0)/r0 — (l Jm (gr0)g(b-r0),
где использовано уравнение (22.04) для функции Jm(gro). Такое же выражение надо написать для остальных функций в уравнении (45.06), после чего оно примет простой вид
I-OTVgV20=O, g=m/r0,
и при m=il получаем формулу (45.07).
7. Исследовать высшие волны в полосковой линии, рассматривая ее как прямоугольный волновод (0<*<a, 0CyCb) и ставя граничные условия Et = = 0 при у=0, у=Ь и Ht = 0 при х=0, д:=а. Найти собственные функции Пе(х, у) и Пт(х, у), собственные значения и продольные волновые числа (с учетом заполнения, ом. рис. 29,а). Какие собственные функции Пе н Пт соответствуют основной (квазииоперечной) волне?
Решение. Рассуждая так же, как в § 41, для іволн Emn получаем
тлх плу _
Пе = Ce cos-sin-— (т = 0,1,2,.,., n = 1,2, )
a b
а для волн H т п
„ _ тлх пли
IIm = CmSin-cos—- (m=l,2..... /1 = 0,1,2,...).
a b
Для основной волны
TIe = Cy или nm=— Cx, g=0,
так что ее можно называть волной E0о или волной H00. Продольные и поперечные волновые числа определяются формулами
g2=|(тя/а)2— (пл/b)2, A2 = k2s\i—g2.
Глава VIII.
СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ § 46. Фазовая и групповая скорость
Теория распространения электромагнитных волн в волноводе (см. гл. VII) для электрического и магнитного полей каждой волны дает следующие выражения:
Е = Е0е'Ч H = Hoelhz, (46.01)
где векторы E0 и H0 не 'зависят от координаты г вдоль волновода, a h есть волновое число распространяющейся волны. Переходя к
168 мгновенным значениям электрического и магнитного полей по формулам (2.01), получаем
E(*) = Re{E0e'(ta-<o')}, H (t) = Re (H0 еі(Лг-ш<)}. (46.02)
В таком же виде можно представить монохроматические волны, распространяющиеся вдоль передающих линий других типов, в однородной среде (см. гл. II) ит. д. Такие волны (при вещественном h) распространяются со скоростью
ы = а/А, (46.03)
которая называется фазовой скоростью данной монохроматической ВОЛНЫ (см. § ;11) .
