Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Приведенные выше соображения поясняют, почему коэффициент отражения от стыка двух волноводов или от стыка волновода и коаксиальной линии (рис. 48,6) не может быть рассчитан по формуле
R = (Z1-Z2)Z(ZiH-Z2), (45.09)
выводимой с помощью телеграфных уравнений (Zi и Z2 — волновые сопротивления линий, изображенных на рис. 48). Действительно, строгий расчет системы, изображенной на рис. 48,6, приводит к простой формуле
= ft)/(A+ft), (45.10)
пригодной при условии, что в круглом волноводе может распространяться только волна E0i с волновым числом h, а в коаксиальной линии — только поперечная волна. Так как волновое сопротивление коаксиальной линии определяется формулой (32.19), то формула (45.10) никак не может быть истолкована в духе формулы (45.09).
Этот пример показывает, что проблемы, связанные с неодно-родностями в волноводах, не могут быть решены с помощью представлений, дающих правильные результаты для обычных длинных линий. Основное отличие волноводов заключается в большей протяженности их ближней зоны, что приводит к необходимости учета затухающих волн вблизи неоднородности. Теория длинных линий может быть использована лишь для формального представления дальнего поля в волноводах (см. конец § 44).
164 Задачи к гл. VII
1. Вывести формулу (44.09) и аналогичную формулу для магнитных
волн.
Решение. Исходя из формулы (44.08), получаем
Е* = * h T ( eiftz -Я е"'"*), = е«*-*е-П
(ЭПе
ду
Hx = — ik
откуда
дП'
ду (eiftz + /?e-iAz), Яу = і (eiftz+
апе
S2 = -
8я
hk
дх
+
апе
ду
( eiftz - R е-ІЛг) ( e-ift*z + R* eift*z)
и при мнимом А прихсвдим к формуле (44.09). Беря для Пт выражение, подобное (44.08), получим для магнитных волн
апт
Ex= і k -Jfij- ( eifiz + R e~iftz), Ey =
Я TTm
Л k LL-( +Rz-**),
Hx = і ( e'ftz-/? e-iftz), Ну = і h ^ ( Zihz-R е-ІЛг)
а*
діГ
а*
+
апп
ау
( e(7iZ + R (Tihz) (е-''л*г—R* e[h'z),
причем для Re 6Z справедлива та же формула (44.09), если в ней заменить Пе на Пт.
2, Исследовать поля плоских волн, определяемых формулами (44.11) и <44.12). Произвести ,разложение волн Hmn (тФ0, пФ0) и Emn на плоские волны, найти их направления распространения.
Решение. Формулам (44.11) и (41.17) соответствуют поля с составляющими
Ey = (kg Cra /2) [ - е«-**+*»>],
Hx = — (hg Cm 12) [ е^х+нг)_еа-гх+нг)] (в)
Hz = (g2 Cm /2) [ е'<г*+"г> + ei(-ffJr+ft2)].
Выражения (а) показывают [их можно сравнить с первой формулой (15Л<4)], что поле волны Hio возникает в результате отражения плоской волны ек-гі+/і2)і падающей под утлом л/2—О на стенку jc=0, с коэффициентом отражения —1. В результате возникает плоская волна eI'«x+ftz>.
Бели рассматривать отражение от стенки х=а, то падающая и отраженная волны меняются местами. Каждая волна является чисто поперечной. Магнитное поле этих волн имеет составляющие Hx и H1, поэтому результирующее поле магнитной волны Hю имеет продольную составляющую НгФ0.
Для волны Hmn (т, л=И,2,...)
П™ = Cra cos (gx X) cos (gy у) еІЛг = (CmIA) [ jUx*+eyy+hz) +
-f e^Sxx+gyy+hz) eHgxx-gyy+hz) gU-ff^-g^ff+ftz)]
165 и аналогично для волны Emn
П* = Ce sin (gz х) sin (gy у) eiftz = - (С74) [ eHsxx+Syy+^) _
-ei(-V+V+ftz>_е"«^*—eH-gxx-g[/y+hz)^
где
gx = rnnla, gy=nn/b.
Сравнивая эти выражения с формулой (14.12), видим, что для полученных выше четырех волн
a = ±gx/k, $ = ±gy/k, y=h/k,
причем у есть косинус угла между направлением распространения каждой волны и осью г. Согласно соотношениям (44.12) этот угол обозначен через Ф (Y = cos О).
3. Показать, что интегральное представление (44.13) приводит к выражениям (42.02), если положить
/ (?) = C1 eIm* + Cae-imI' и надлежащим образом подобрать константы C1 и C2.
Решение. Переходя в интеграле (44.13) к полярным координатам, получаем
я я
Jl-Ci j e'tfi'-costv—ф)+ігаф] dij) _(_ Ca j eiffircos',l,-(l)'-m,l']
—я —я
Переходя в первом интеграле к переменной i|/=it/2-f(p—а во втором—к я|)"=я/2 + і|)—ф и учитывая периодичность подынтегральных функций и представление (22.16), приходим к !выражению
П = 2я ira Jm (gr) (C1 eim<» + C2 e-im<P),
откуда легко получается требуемое.
4. Показать, что в волноводе с клиновидной перегородкой (ом. рис. 46,а) волны Emit и Hmn определяются функциями Герца (44.14), и найти возможные значения V и g. При каких условиях все индексы v будут целыми?
Решение. Цри наличии перегородки функции Пе и Пш должны удовлетворять граничным условиям
дПт _ дПт
П — 0, —= О при г = а, IT = О, Q = 0 при <р = 0 и <р = а (а)
и, разумеется, уравнению (42.01) при г<а и 0<ф<а. Это уравнение допускает решения (44.il4), где fv(x) удовлетворяет уравнению (22.04) при замене т на v. Граничные условия (а) при ф = 0 -и ф = а приводят к уравнению Sinva = O, откуда v = mnla, m=l,2,... для волн Emn и Hmn, причем при от= = 0 получаются еще волны H0n — те же, что в круглом волноводе без перегородки. Значения g получаются из уравнений
Jrn я/a (Sa) = 0 для Emn, j'm я/а (ga) = 0 для Hmn.
