Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому на очень больших расстояниях его огибающая уже не перемещается со скоростью v как единое целое, а происходит деформация сигнала. Чем уже спектральный диапазон сигнала, тем деформация происходит медленнее, так как с тем большей точностью применимо выражение (46.07).
§ 47. Распространение модулированных волн в волноводе
Волновое число распространяющейся волны в волноводе
где k=<o/с, a g от частоты не зависит. Ее фазовая скорость
Она характеризует скорость распространения фазы в монохроматической волне, являющейся в пространстве (вдоль оси z) и во времени бесконечной синусоидой.
h= Yk?—g*(k>g)
(47.01)
U = ClV\-(glk)\
(47.02)
171 Фазовая скорость в волноводе по формуле (47.02) превосходит с. Этот результат не противоречит теории относительности, запрещающей передачу сигналов и движение тел со скоростью, превышающей скорость света. Как отмечалось в § 46, с помощью монохроматической волны нельзя передавать сигнал, несущий ка-кую-либо информацию. Передача информации возможна лишь с помощью модулированных волн, не являющихся монохроматическими, причем информацию и энергию несет комплексная огибающая, перемещение которой происходит с так называемой групповой скоростью (§ 46)
V = da] d.h. (47.03)
Формула (47.03) является общей формулой, позволяющей рассчитывать скорость распространения сигнала в любой системе. Единственным условием применимости этой формулы является требование, чтобы спектр сигнала, схематически изображенный на рис. 49, был сосредоточен в достаточно малом диапазоне вблизи произвольной центральной частоты со.
Вычисляя по формуле (47.03) групповую скорость электромагнитной волны в волноводе
V = l/(dh/d<o) = Cf.(dhldk), (47.04)
получаем
V = с V1 — (g/k)2. (47.05)
Таким образом, групповая скорость волн в волноводе оказывается, как это и следовало ожидать, всегда меньше скорости с. Поскольку то относительно наблюдателя, движущегося вместе с огибающей (со скоростью v), синусоида высокочастотного заполнения будет двигаться вперед; при этом передние гребни синусоиды будут исчезать, доходя до передней границы сигнала, а задние гребни — возникать в «хвосте» сигнала. Интересно, что фазовая и групповая скорости в волноводе удовлетворяют соотношению
UV = C2. (47.06)
Если имеется сигнал, ограниченный во времени, например одиночный высокочастотный импульс с резко выраженным фронтом, то в его спектральном разложении (46.04) или (46.05) теоретически представлены все частоты вплоть до самых высоких; разумеется, функции Eo (со) и F (а) при со-»-оо стремятся к нулю, но они обращаются в нуль лишь при со = оо. Поскольку согласно формуле (47.02)
lim w/h = с, (47.07)
СО-» оо
то при достаточно больших со, например при (о>іа)іЗ>юо, можем. 172 приближенно положить h = (a/c, и тогда в выражении (46.05) будет слагаемое
Re J F (со) elfi><z/c-o d(a = g if—Zlc), (47.08)
CO1
которое соответствует волне, распространяющейся со скоростью с и опережающей основной сигнал, бегущий со скоростью v. Это слагаемое будет однако весьма малым, поскольку при coS>coo функция F (и) принимает малые значения.
Таким образом, прямоугольный высокочастотный импульс в волноводе приобретает слабо выраженные предвестники, уходящие от него по мере распространения (рис. 50). Нужно, однако, иметь в виду, что реальный приемник не воспринимает этих предвестников и не регистрирует приход сигнала по теоретическому переднему фронту Р, перемещающемуся со скоростью с. Это объясняется не только тем, что предвестники обладают малой энергией, но также тем, что их частотный спектр лежит далеко от рабочего диапазона, соответствующего основной энергии сигнала. Для создания сигнала с резко выраженным фронтом передатчик должен работать в бесконечной широком диапазоне частот, чего обычно не бывает. Поэтому фактически регистрируется приход сигнала по фронту огибающей Q (рис. 50), перемещающейся с групповой скоростью и.
Можно показать, что передний фронт в любой диспергирующей среде также перемещается со скоростью с, поскольку волновое число h в любой реальной среде или в реальной линии передачи удовлетворяет соотношению (47.07).
Проведенное выше исследование движения фронта волны не является строгим с математической точки зрения. Для волноводов, т. е. для закона дисперсии (47.01), можно провести более строгое рассмотрение вопроса, если воспользоваться уравнением
d2f 1 д2ї
- ' — -ZT +84 = 0, (47.09)
dz2 с2 ді2
которому удовлетворяет функция (46.05). Действительно, этому уравнению удовлетворяет функция
gl(Hz—ort) __ gi( Yk*-g*z-b>ty
а вследствие этого и весь интеграл (46.05).
Фронтом волны в данный момент t называется такая плоскость z=?(t), правее которой поле тождественно равно нулю (/=O віместе со всеми своими производными), а левее — отлично от иуля. Таким образом, при z=Z(t) поле
Рис. 50. Распространение радиоимпульса в волноводе (схематически)
173 терпит разрыв. Теория дифференциальных уравнений в частных производных исследует движение таких разрывов, при этом оказывается, что кривая с уравнением z=z{t) должна быть так называемой характеристикой соответствующего дифференциального уравнения ,(47.09). Не останавливаясь на теории характеристик, отметим лишь, что характеристики уравнения (47.09) и соответствующего ему уравнения
