Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Мы не будем здесь входить в эти тонкости и рассмотрим лишь случай, когда все Xj одинаково распределены и имеют конечное среднее значение и конечную дисперсию. Мы докажем, таким образом, теорему:
Если хг, . ..,хп — независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие среднее значение /х и квадратичное отклонение сг, то сумма (17) асимптотически нормальна со средним значением п/х и квадратичным отклонением сг fn.
Доказательство. Мы можем предположить, что /х = 0. Пусть (pit) — характеристическая функция случайной величины хх, тогда [<р(<)]п — характеристическая функция случайной величины х.
Нам нужно доказать, что
стремится к ехр(—<2/2) при п—>оо.
Первая и вторая производные от <p(z) в точке z =- 0 равны соответственно л'/х =- 0 и л'2сг2 = —сг2. Следовательно, для <p(z) справедлива формула Тэйлора:
1 См. монографию Б. В. Гнеденко и Л. Н. Колмогорова, указанную
выше, а также статью А II. Колмогорова, Некоторые работы последних лет в области предельных теорем теории вероятностей, Вест. Моск. ун-та, № 10 (1953), 29. — Прим. перев.
(18)
<p(z) = 1 — сг'2 z2 + R,
] 26 Гл. V. Интегралы Фурье и предельные теоремы
где остаточный член R при 2—>0 стремится к нулю быстрее, чем
г-. Из последнего раЕенстЕа получаем, что
= '-?+*¦ "9>
причем R при 71—>оо стремится к нулю быстрее, чем 1/т?. Логарифм характеристической функции равен
ta*bfc)=-?+ii'’ (20>
где R' снова стремится к пулю быстрее, чем 1/72. Если (20) умножить на п, то найдем логарифм (18). Устремляя затем п к бесконечности, получим в пределе —t2/2, следовательно,
<21>
что и требовалось доказать.
Д. ПРИМЕР: РАСПРЕДЕЛЕНИЕ /Г
Для суммы квадратов независимых одинаково нормально распределенных случайных величин с нулевым средним значением и единичной дисперсией
X2 = х\ + х\ -f . . . + ж2 (22)
выполнены все предположения только что доказанной теоремы. Среднее значение х\ равно единице, а квадратичное отклонение равно ]/2. Следовательно, сумма (22) асимптотически нормальна со средним значением пи квадратичным отклонением \2п (ср. § 23). Так как квадратичное отклонение мало по сравнению со средним значением, то случайная величина ]/2/2 распределена также асимптотически нормально. Нормальное приближение для распределения лучше,чем для самого распределения х2 (см. Fisher R. А., Statistical Methods, § 20). Среднее значение У2)Г2 приближенно равно У2п — 1, а дисперсия близка к единице1.
1 По поводу асимптот нческой нормальности функций от асимптотически нормальных случайных величин см. Крамер Г., Математические методы статистики, ИЛ, М., 1948, стр. 401. Можно указать такие функции от х2. распределение которых существенно лучше приближается i ормаль-ным распределением, чем распределения (^2 — п)/\!2п илиУ2х2— 1 ‘ИГ— 1.
<У 24. Предельные теоремы
ГГ,
Е. ВТОРАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Очень полезна также «вторая предельная теорема» Фреше и Шохата1, которая гласит:
Если все Fn(t) из последовательности функций распределения {Fn(t)} обладают конечными моментами о.к(п) любого порядка и если ak(ri)^>f3k (?z—>00) при каждом к, то j3k— моменты некоторой функции распределения F(t). Если, кроме того, F(t) своими моментами определяется однозначно, то при п—>оо последовательность Fn(t) сходится к F(t) в каждой точке непрерывности функции F(t).
Доказательство этой теоремы можно найти в цитирсваннсм исследовании Фреше и Шохата или в книге M.G. Kendall, Advanced Theory of Statistics, vol. I, Griffin and C°, London, 1948, § 4.24.
Наиболее гажен тот случай, кегда j3k яеляются моментами функции нормального распределения O(t):
Функция нормального распределения всюду непрерывна н однозначно определяется своими моментами. Следовательго,
Если ои(п) при п—»оо стремятся к моментам нормального распределения (23), то в каждой точке t последовательность Fn(t) сходится к Ф{1).
Доказательства всех предыдущих предельных теорем бы;.п основаны на интегральном преобразовании Фурье. Однако следующая теорема будет совсем элементарной. Формулировка этой теоремы заимствована мною из книги Г. Крамера, << Математические методы статистики >>, ИЛ, М,, 1948, стр, 281, 20. 6.
Пусть хъ х2, . . . — последовательность случайных величин с функциями распределения Fu F2, . . . . Пред поле жим, что Fn(u) стремится к функции распределения F(u) при ?z—>оо.
Пусть, далее, у1} у2, , . . другая последовательность случайных величин. Предполсжим, что уп сходится по вероятности к некоторой постоянной с. Тогда функция распределения суммы
1 Впервые эта теорема была доказана А. Л. .Марковым (1898) л л я случая сходимости к нормальному распределению (см. Марион А. Л., Исчисление вероятностей, 4-е изд., ГИЗ, 1924, стр. 514). Локазательство формулируемом здесь общей теоремы лаго к работе F г е с h с t М. and S li о-hat J., A Proof of the Generalized Second Limit Tliconni, Tians. Amor. Math, Soe,, 33 (1931), 53’.{. — - Прим. nej'.ce.
