Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
5 = -L Г| *| е~ 2'dt = -L f t Г * dt = ][- .
У 2я J 11 |'2я J * 51
— ©О 0
Поэтому для любого нормального распределения справедливо соотношение
S=4J. (7)
Выборочное среднее отклонение d вычисляется несколько проще, чем выборочное квадратичное отклонение s, однако s является принципиально более важной и, как правило, более точной оценкой для сг, чем d.
Позднее мы увидим, что в случае нормального распределения s2 является, в некотором определенном смысле, наилучшей оценкой для сг2.
ГЛАВА V
ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
§ 21. Характеристические функции
А. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
До сих пор математическое ожидание было определено лишь для действительных случайных величин. Однако из двух действительных случайных величина; и у можно построить комплексную случайную величину
z = х + г у
и определить ее математическое ожидание формулой
6 г = 6 х + * б У-
Точно так же, в общем случае, определяется среднее значение вектора v = (хи . . ., хп):.
6(*i> • • •> ®/i) — (6 & *«)•
Для двух произвольных случайных векторов из одного и того же векторного пространства или для двух комплексных случайных величин гим справедливо равенство
?(» + *«) = в v + & w. (1)
Две комплексные случайные величины z = x + iy и гс = = u-riv называются независимыми, если и и v независимы от х и у, т. е. если для любых а, Ъ, с и d справедливо равенство
Р(ж < а, у < Ь,и < c,v < d) = р(ж < а, у < Ъ) р(и < с, v < d).
Если z и гс независимы, то
6(гад) = (в z) (gic). (2)
Последнее равенство доказывается выделением действительной и мнимой частей zw с последующим использованием формулы (1).
§ 21. Характеристические функции
111
Б. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть х — случайная величина с функцией распределения F(u) = р(х < и). Характеристической функцией случайной величины х называют математическое ожидание ехр (Их):
оо
cp(i) = С в1* = j с"1 dF(u). (3)
—оо
Этот интеграл сходится для всех действительных t, так как абсолютные величины действительной и мнимой частей exp (Ни)
не превосходят единицы и J dF(u) сходится.
Если для F(u) существует плотность вероятности f(u), то характеристическая функция <р(?) является обычным интегралом Фурье:
оо
Г Ни
cp(t) = j е f(u) du. (4)
—оо
С другой стороны, если х — дискретная случайная величина, принимающая значения хх, х2, . . . в конечном или счетном числе с вероятностями рх, рг, . . ., то
Ф) = 2Рн eitxi . (5)
Легко видеть, что
9(0) = 1
и
1ф(01 ^ 1
для всех действительных t.
Если характеристическая функция случайной величины х равна cp(t), то характеристическая функция ах -г Ь (а и Ъ — постоянные) равна
? еЩах + Ь) = ет ? еШх = еш cp(at).
В. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Одним из общих свойств интеграла Лебега является его непрерывная зависимость от подинтегралыюн функции, если она мажорируется функцией, интеграл Лебега от которой конечен. Соответствующая теорема гласит: Пусть gv(u) — последовательность интегрируемых функций (индекс v можно заменить непрерывно меняющимся параметром t). Если для всех v
gv(u) | G(u),
(6)
112 Гл. V. Интегралы Фурье и предельные теоремы
интеграл j G(u) dF(u) конечен и для всех действительных и существует предел
lim gv(u) = g{u), (7)
то
lim j gv{u) dF(u) = g(u) dF(u). (8)
Доказательство можно найти в теории интеграла Лебега. Из этой теоремы непосредственно следует, что характеристическая функция <p(t) непрерывна по t.
г. МОМЕНТЫ
Моментом п-го порядка случайной величины х называют математическое ожидание хп:
ао
ап = ? хп = J ип dF(u). (9)
—ев
Обобщая это понятие, можно построить моменты относительно точки с:
;',(ж — с)п = J (и — c)n dF(u). (10)
Особенно важное значение имеют моменты относительно математического ожидания х:
И-п
= б (ж — х)п = j (и — х)п dF(u). (11)
