Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
—оо
По Дюге, достаточно даже более слабое предположение о существовании конечной производной от характеристической функции хг в точке ?=0:
ср'{ 0) = га. (9)
Согласно Хинчину и Дюге, обобщенный закон больших чисел гласит:
,<? 24. Предельные теоремы 123
Если . . ., хп — независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения и если выполняется условие (9), то арифметическое среднее
т=У(х1 + . . . + хп) (10)
сходится по вероятности к а при пч»,
Доказательство чрезвычайно просто. В некоторой окрестности точки t = 0 характеристическая функция <p(t) близка к единице, следовательно, мы можем в этой окрестности положить
<р(1) = е^\ (11)
Характеристическая функция арифметического среднего т равна
M‘if= о?»
Так как в точке t = 0 функция <p(t) дифференцируема, то дифференцируема также и ip{t), причем ее производная равна
?'«»= т - <13>
По определению производной {п/^уЩп) стремится к t/AO) при и—>оо, следовательно, (12) при и—»оо имеет предел
e,v'(0)= еш. (14)
По правая часть (14) является характеристической функцией величины а, которая с достоверностью принимает лишь одно значение а. Таким образом, характеристическая функция т при каждом t стремится к характеристической функции постоянной величины а. Функцией распределения а является такая функция Е(и), которая в точке а совершает скачок от 0 к 1 и в дальнейшем с ростом и остается равной единице. Согласно предельной теореме, функция распределения т стремится к этой функции Е(и) во всех тех точках и, где Е(и) непрерывна. Следонательно, функция распределения m стремится к нулю при и< а и стремится к единице при и > а. Этот результат в точности совпадает с утверждением теоремы.
Только что доказанную теорему называют «слабым законом больших чисел». Наряду с этим законом существует еще «усиленный закон больших чисел», но в математической статистике он едва ли играет заметную роль. [См. Хинчин А. Я., Sur la loi des grands nombres, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences, Paris, 188 (1929), 477, а также Гнеденко Б. В. и Колмогоров А. 11., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, ГИТТЛ, М., 1949, стр. 112 и 142,1
124 Гл. V. Интегралы Фурье и предельные теоремы
Г. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Случайная величина х, функция распределения которой зависит от параметра п, называется асимптотически нормальной, если существуют два числа а и с (может быть, зависящие ст v) такие, что функция распределения случайной величины
стремится к нормированной функции нормального распределения Ф(и) при п—»оо. Согласно разделу А этого параграфа, необходимым н достаточным условием асимптотической нормальности х является сходимость характеристической функции случайной величины
(15) к характеристической функции нормального распределения
при каждом t.
Во многих случаях а является средним значением, а с — квадратичным отклонением случайной величины х, сднако может случиться, что квадратичное отклонение х не существует или даже среднее значение не существует и, несмотря на это, имеются числа а и с с упомянутыми свойствами.
В разделе Б мы видели, что при п опытах, в каждом из которых положительный исход наступает с сдной и той же пероят-нсстью р, общее число положительных исходов as = aSj + . . . + хп асимптотически нормально. При этом каждое слагаемсе Xj принимает лишь значения 1 и 0 с вероятностями pnq=\--p соответственно.
Смысл содержания центральной предельной теоремы заключается в том, что при определенных условиях каждая сумма независимых случайных величин
х = х1 + ...+хп (17)
распределена асимптотически нормально.
Уже Лаплас и Гаусс предполагали справедливость этой теоремы и указали основания для сеоих догадок. Первое полное доказательство принадлежит А. М. Ляпунову (1901)1. Поль Леви привлек для доказательства характеристические функции. Позднее Хинчин, Леви и Феллер доказали эту теорему при значительно более слабых предположениях. (По этому сопрссу см. Levy P., Theorie de l’addition des variables aleatoires, Paris, 1954; Хинчин А. Я., Предельные теоремы для сумм независимых слу-
1 Первое строгое доказательство центральной предельной теоремы дал с помощью метода моментов А. А. Марков (1898). При этом он следовал но пути, указанному П. Л. Чебышевым. — Прим. ред.
§ 24. Предельные теоремы
125
чайных величин, ГОНТИ, 1938; Гнеденко Б. В. и Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, ГИТТЛ, М., 1949.)
Определенные ограничения, которые в центральной предельной теореме накладываются на распределения слагаемых (17), нужны для того, чтобы, во-первых, исключить тот случай, когда величина отдельного слагаемого ссставляет слишком большую часть всей суммы (17), и, во-вторых, чтобы обеспечить достаточно быстрое стремление функций распределения хj к нулю и к единице при и—» — оо и и—> +оо соответственно. Если, например, все отдельные слагаемые хподчиняются распределению Коши (§ 20), то сумма х имеет то же самое распределение и центральная предельная теорема не выполняется. Линдеберг (Math. Zeitschr., 15, 1922) указал довольно слабое условие, достаточное для выполнимости центральной предельной теоремы, однако условия Феллера (Math. Zeitschr., 40 und 42) еще слабее, так как Феллер не требует даже конечности дисперсий1.
