Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если xltx2,. . .,хп — независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями, то сумма квадратов
подчиняется распределению х2 с 71 степенями свободы.
Таким образом, мы пришли к результату Хельмерта, сформулированному в начале этого раздела. Если дисперсия равна не единице, а сг2, то для того, чтобы получить распределение у[1, следует вместо (12) положить
Из формул обращения характеристической функции (§ 21 Д) следует предельная теорема:
Если последовательность характеристических функций (p^t), <p2(t), . . . при каждом t стремится к пределу <p(t), непрерывному в точке t = 0, то (p{t) является характеристической функцией некоторой функции распределения F(u), причем последовательность функций распределения F^u), F2(u), . . . сходится к F(u) во всех тех точках и, где функция F(u) непрерывна.
Доказательство этой теоремы имеется в книге Г. Крамера «Математические методы статистики», стр. 112.
(И)
о
(12)
(13)
§ 24. Предельные теоремы
Л. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛЕВИ-КРАМЕРА
§ 24. Предельные теоремы 121
Если F(u) — функция распределения, и для всех тех точек и, где F(u) непрерывна, имеет место соотношение lim Fn(u) = F(u),
п—>00
то в дальнейшем мы будем кратко говорить: последовательность Fn стремится к F.
Б. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ;
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Характеристической функцией биномиального распределения является
cp(t) = (ре“-{ q)n. (1)
Среднее значение случайной величины х =¦ хх + . . . + хп равно пр, а квадратичное отклонение сг = Уnpq. Если
(2)
СГ ' '
ввести в качестве новой случайной величины, то соответствующая характеристическая функция будет задаваться формулой
ifnp it
(Pn(t) = е ° (реа -i- q)n. (3)
Логарифм <pn(t) равен
¦ In <?„(<) = -^-4 71 In [1 +р (<?--[)]. (4)
Если t фиксировано и п -* оо, то it/cr стремится к нулю; показательную функцию в круглых скобках можно разложить в степенной ряд
Произведение р [exp (it/сг) — 1] для достаточно больших п мало сравнительно с единицей, следовательно, логарифм в правой части (4) можно также разложить в степенной ряд:
in[i + р(<? — i)l = ^~- — \vq (|J -1
Подставляя этот результат в (4), получим
1° fM = - Т (Я + ¦¦¦ = -?<¦ + ¦¦¦• (5)
Если теперь п устремим к бесконечности, то в пределе.
122
Г л. V. Интегралы Фурье и предельные теоремы
Правая часть (6) является характеристической функцией нормального распределения. Отсюда следует, что функция распределения нормированной случайной величины (2) с нулевым средним значением и единичной дисперсией при п¦ —»оо сходится к функции нормального распределения. Этот результат можно сформулировать и так: случайная величина х асимптотически нормальна со средним значением пр и квадратичным отклонением <г.
Мы уже знакомы с этим результатом, однако только что изложенный вывод требует меньше вычислений. Точно таким же способом с помощью характеристической функции можно без труда получить дополнительный член порядка \/]/п (см. (1) §6).
В. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Закон больших чисел в § 5 был сформулирован так: если вероятность некоторого события равна р, то частота h наступления этого события в п независимых испытаниях для достаточно больших п с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, будет произвольно мало отличаться от р. Это же самсе можно сформулировать и так: частота h сходится по вероятности к р при и—»с». Или гще: при тг—>оо частота h является состоятельной оценкой для р. Все эти высказывания означают одно и то же, а именно — что для всякого е > 0 вероятность события |h — р\< < е сколь угодно близка к единице, если п достаточно геликс.
Случайная величина h была определена как отношение ас/те,
где
х = хх + ... +хп (7)
является суммой независимых случайных величин, каждая из которых принимает значения 1 или 0 с вероятностями р и q =
— 1 —р соответственно. Закон больших чисел можно обобщить, выбрав в качестве хх, . . ., хп какие-либо независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения F(u). При этом, согласно Хинчину. на F(u) накладывается лишь требование существования конечного среднего значения
оо
а = ? хг = J и dF(u). (8)
