Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
133
значением z, округленным до целых единиц, и тем значением z, которое получается с помощью четырехзначных таблиц слагаемых, представляет собой практически нормально распределенную случайную величину с дисперсией
о-2 = 2,67.
Возвращаясь снова к четырехзначным числам, получаем, что квадратичное отклонение <г этой разности округленно равно 1,6 • 10-4. Следовательно, общая ошибка суммы, превышающая 4 единицы четвертого десятичного знака, будет встречаться лишь чрезвычайно редко.
Если бы мы сложили теоретически возможные максимальные ошибки всех отдельных слагаемых, то получили бы 14 единиц четвертого десятичного знака. Теоретически возможная ошибка сум^ы пропорциональна числу слагаемых т, а практическая ошибка пропорциональна У т.
ГЛАВА VI
ГАУССОВА ТЕОРИЯ ОШИБОК И КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА
В этой главе предполагается известным содержание гл. I—IV, а также центральная предельная теорема и понятие о распределении у2 из гл. V.
§ 26. Гауссова теория ошибок
Л. РАВНОТОЧНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ
Повторные измерения физической величины, даже если эта величина в процессе измерений остается постоянной, не всегда дают одинаковые результаты: наблюденные значения х имеют некоторый разброс около среднего значения х. Разность х—х, по Гауссу, называется случайной ошибкой одного наблюдения.
Среднее значение х не обязательно равняется истинному значению измеряемой величины, так как наблюдения могут содержать систематическую ошибку, которая возникает как следствие принятого метода измерений. При известных условиях влияние систематической ошибки можно понизить улучшением измерительной аппаратуры или добавлением к результатам измерении надлежащих поправок. Вопрос устранения систематических ошибок выходит за рамки статистической теории ошибок, которая посвящена лишь случайным ошибкам х — х.
В теории ошибок всегда предполагается, что случайная величина х имеет конечные среднее значение х и квадратичное отклонение сг. Иногда делается еще дополнительное предположение
о законе распределения ошибок; однако сначала мы постараемся выяснить, как далеко можно продвинуть эту теорию без определенных предположений о распределении ошибок.
Следуя Гауссу, квадратичное отклонение о- называют средней ошибкой наблюдения. Осреднением многих наблюдений среднюю ошибку можно понизить. А именно, согласно § 18, выборочное среднее из п независимых наблюдений
М = X = V X: (1)
п 1 4 '
имеет то же среднее значение х, что и отдельные наблюдения xt,
и средняя ошибка М в Уп раз меньше средней ошибки х,-:
§ 26. Гауссова теория ошибок
135
Для того чтобы можно было судить о точности М как оценки для х, нужно найти приближенное значение для сг2. Как показано в § 18, в качестве приближенного значения принимают
1
(3)
Для дисперсии выборочного среднего М
(4)
соответствующее приближенное значение равно
(5)
Если количество наблюдений п велико, то sM является хорошим приближением для средней ошибки сгм. Найденное выборочное среднее М и его выборочную среднюю ошибку sM обычно объединяют в выражение М + sM.
Пример 15. Повторные определения широты Капштадта в течение периода с 1892 по 1894 г. (Czuber, Wahrschemlichkeitsreclmung, Beispiel LVI) дали 15 результатов, указанных в таблице.
Отбрасывая градусы и минуты, найдем выборочное среднее
48", 92 М = -----— -3", 261
15
и в качестве округленного начала отсчета выберем а = 3",26. При вычислении s2 за новую единицу принята 0", 01 (§ 18,2). Поправочный член — п (М — а)2 в данном случае столь мал, что нм можно пренебречь. Таким образом, находим
3406
~Н
= 243,
следовательно, s = 16; 243
16,
следовательно, ~ 4.
Результат можно записать в виде символического раненства:
<Р ¦- —33°56'3",26 ± 0",04.
X х --- а (х --- а)‘
1 -33°56'3",48 + 22 484
2 3",50 -г 24 576
3 3",50 -г 24 576
4 3",32 + 6 36
5 3",09 --- 17 289
6 2",98 ---28 784
7 3",0/ --- 19 361
8 3",28 + 2 4
9 3",27 + 1 1
10 3",20 --- 6 36
11 3",30 -Ь 4 16
12 3",25 --- I 1
13 3", 11 ---15 225
14 3",30 4- 4 16
15 3",27 + 1 1
48",92 + 2 3406
136 Гл. VI. Гауссова теория ошибок и критерий Стьюдента
Б. НЕРАВНОТОЧНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ
