Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если отдельные наблюдения имеют различную точность, то при образовании среднего их естественно снабдить различными весами и вместо (1) построить взвешенное выборочное среднее, которое мы сноса обозначим буквой М\
Если все xt имеют одно и то же среднее значение х, что мы и будем впредь всегда предполагать, то (8) превращается в равенство ? М — х.
Спрашивается, каким образом нужно выбрать веса gt, чтебы средняя ошибка сгм была наименьшей?
Из (7) и (9) следует, что
Как известно, этот квадратичный относительно glt . . дп-Л многочлен достигает в некоторой точке минимума, если все его частные производные по дг,. . дп_х в этой точке обращаются в нуль. Дифференцируя по glt находим
и т. д. Это означает, что веса д1г . . дп должны быть обратно пропорциональны квадратам средних ошибок отдельных наблюдений.
При вычислениях дополнительное условие (7) удобно отбросить, заменив g величинами, пропорциональными весам. Тогда вместо (6) нужно написать
<7,- должны быть обратно пропорциональны дисперсиям of:
М = дх х1 -f . . . + дп хп.
При этом сумма весов должна быть равна единице:
01 + • • • + дп — 1 •
Среднее значение и дисперсия М равны
М = п. гг.. -\- -4- п 'Г
(7)
(6)
(8) (9)
201 0-2 — 2(1 — — ... — gn-j) 0-2 = о
или
010-1 = 0Л о-»-
Точно так же, дифференцируя по д2, найдем
02 °2 = Яп
JUT 9i 3-1 +------------\- 9пХп
91 + • • • + 9п
(10)
V
01 : 02 •• • • •: Яп = °"i2: °"2"2:
(11)
§ 26. Гауссова теория ошибок
137
Положим теперь
(Ji a-f = а-2 (12)
и назовем сг «средней ошибкой наблюдения на единицу веса». В данном случае вместо (9) получим
V„2 „з ^.2 ^ Oi i
(Sod*
или, если воспользоваться (12),
(13)
2в
По результатам наблюдений можно вычислить приближенное значение для сг2, а именно
e2 = ir=i ZgAxi-Mf. (14)
Оправданием формулы (14) служит то, что среднее значение s2 равно сг2. Доказательство вполне аналогично приведенному ранее доказательству формулы (10) в § 18. Для упрощения вычислений мы предварительно выберем начало отсчета на оси Ох так, чтобы выполнялось условие х = 0. В этом случае имеем
в 2 я ,(*, - М? = 8(2 яi а? - 2 2ffi*,M +2 Я, т =
= 2я&$-&(м*)2я,=
= 2 9i °? — 2 Я, = п 0-2 —0-2 = (п — 1) аг2- 0 5)
следовательно, согласно (14),
= (16)
В силу (13), для дисперсии сг2м взвешенного выборочного среднего М получаем приближенное значение
4,=^-. (17)
Z, 9
Формулу (17) можно применять лишь тогда, когда известно, что веса правильны, т. е. обратно пропорциональны дисперсиям erf. Если веса заменены их приближенными оценками, то при выводах надо соблюдать осторожность.
При вычислении s2 можно М опять заменить каким-либо близким числом а и затем из результата вычесть д) (М—а)2:
# = ^[2я(х-й)2-(2д)№-«)г1 (18)
138 Гл. VT. Гауссова теория ошибок и критерий Стьюдента
Пример 16. Для определения периода колебаний физического маятника фиксировались 20 последовательных моментов прохождения этого маятника водном и том же направлен ни через положение равновесия. Пусть <20 —
зафиксированные моменты времени. С помощью этих двадцати наблюдений можно построить десять независимых оценок для периода Т, а именно;
^1 = — (<20 h)>
Т2 ~ — (ha <2)'
^10 = (<и <ю)-
Если все разности (/,- — t^) имеют одинаковую среднюю ошибку сг, то Тл, . . ., Т10 имеют средние ошибки
сг сг сг
Тэ’ 17 ’ '"’Г
соответственно.
Поэтому в качестве весов можно выбрать числа
&= 192, ff2= 173, . . ., g10^- Р.
Таким образом, взвешенное выборочное среднее равно
^ 19*7, •(¦ 172Т2 + ¦ ¦ ¦ + 12^10
М = — - — - — — ¦
192 + 172 + 12
Средняя ошибка cr^i взвешенного среднего Л/ задается формулой (13):
192”+ 172 + I2 '
Для оценки сг2 можно воспользоваться формулой (14): s2 = * [192 (Тг - М)* + 172 (Т2 - Л/)2 + . . . + I2 (Т10 - Л/)3].
Однако эта оценка не очень точна, так как в нее входят лишь 10 разностей t20 — tlt tla — t2.tu — tj,,. Если использовать все 20 наблюдений
