Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Варден Б.Л. -> "Математическая статистика" -> 42

Математическая статистика - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Математическая статистика — М.: Ил, 1960. — 435 c.
Скачать (прямая ссылка): matematstatistika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 178 >> Следующая


F(b) = lim [F(bv) — F{av)}. (22)

V—»oo

Из (22) следует однозначная определенность F(b) для произвольного Ъ.

Е. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СУММЫ

Пусть х и у — независимые случайные величины. Тогда, согласно (2),

g = g eitx 6 еиУ,

или, словами: характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Это же самое справедливо, конечно, и для суммы хх + . . . + хп произвольного числа слагаемых.

Указанная теорема вместе с теоремой однозначности во многих случаях является очень удобным средством для отыскания функции распределения суммы независимых случайных величин. Это иллюстрируется ниже следующими примерами.

§ 22. Примеры

А . БИНО.МИ АЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть xv . . ., хп— независимые случайьые величины, каждая нз которых может принимать значения 1 и 0 с вероятностями р н q -- 1 —р соответственно. В этом случае сумма хх + . . . + хп

1 Функция, монотонно возрастающая от 0 до 1, имеет не более чем счетное количество точек разрыва. Это можно доказать, например, используя то обстоятельство, что наша функция имеет лишь конечное число скачков =» 1, конечное число скачков 1 /2, конечное число скачков э» '/3 и т.д. Следовательно, все скачки (а значит, и точки скачков) можно занумеровать в порядке н.х возрастания.

8*
116 Гл. V. Интегралы Фурье и предельные теоремы

имеет биномиальное распределение: она принимает целочисленные значения к (0 =? к =s п) с вероятностями

Wk = \l)^q^K

Согласно (5) §21, характеристическая функция отдельного слагаемого Xj равна

<р(<) = ре" + q. (1)

Следовательно, характеристическая функция суммы задается формулой

[ср(Щп = (ре“ + ?)"¦ (2)

Применяя к правой части (2) формулу бинома Ньютона, получим сумму, совпадающую с определением характеристической функции биномиального распределения

(ре'1 | q)n = 2 (”) Pkeik' qn~k ~ ? ^kt ¦

Б. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Если случайная величина х подчиняется нормальному распределению с единичной дисперсией и нулевым средним значением, т. е. если для х плотность вероятности задается формулой

/(«)=-^:Г*“,1 (3)

I

то соответствующая характеристическая функция равна

OP во

/А 1 Г~^“‘ 1 itU J 1 Г - V , . .

tp(() = - ^ е 2 du = =_- е 2 2 du. (4)

j 2.П J [' 2.П J

—во оо

Выбрав в качестве новой переменной интегрирования ш = и — it,

ПОЛУЧИМ

1 - -I* Г — - №>

<Р(0 ^ е 2 J е 2 dtr, (О)

где интегрирование производится в комплексной плоскости вдоль прямой, параллельной действительной оси. Если путь интегрирования перенести на действительную ось, то найдем, что

-1/*

q>(t) = е 2 . (G)
22. Примеры 117

Случайная величина <гх также нормальна с дисперсией <г2 и нулевым средним значением. Ее характеристическая функция равна

~ itox — оЧг

g е = <p(t а) = е 2 (7)

Таким образом, характеристическая функция нормально распределенной случайной величины с нулевым средним значением лишь постоянным множителем отличается от гауссовой функции ошибок с дисперсией, равной обратной величине дисперсии исходного нормального распределения.

Если к случайной величине х прибавить постоянную а, то характеристическая функция х 4 а будет равна произведению cp(t) и exp (ita). Следовательно, для характеристической функции нормально распределенной случайной величины со средним значением а и квадратичным отклонением <г справедлива формула

На — ^

q>(1) = е е * . (8)

Произведение двух функций этого вида опять будет функцией того же вида. Этим самым мы снова получили найденный ранее с1езультат, но со значительно меныним количеством выкладок:

Сумма двух независимых нормально распределенных случайных величин снова распределена нормально.

В. РАС !.’.: Т.’; ЛЕНИН ПУАССОНА

Если х принимает значения к = 0, 1,2, ... с вероятностями (§ Ю)

Рк ^ е~х’ (9)

то соответствующая характеристическая функция, согласно (5), равна

Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed