Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
F(b) = lim [F(bv) — F{av)}. (22)
V—»oo
Из (22) следует однозначная определенность F(b) для произвольного Ъ.
Е. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СУММЫ
Пусть х и у — независимые случайные величины. Тогда, согласно (2),
g = g eitx 6 еиУ,
или, словами: характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Это же самое справедливо, конечно, и для суммы хх + . . . + хп произвольного числа слагаемых.
Указанная теорема вместе с теоремой однозначности во многих случаях является очень удобным средством для отыскания функции распределения суммы независимых случайных величин. Это иллюстрируется ниже следующими примерами.
§ 22. Примеры
А . БИНО.МИ АЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть xv . . ., хп— независимые случайьые величины, каждая нз которых может принимать значения 1 и 0 с вероятностями р н q -- 1 —р соответственно. В этом случае сумма хх + . . . + хп
1 Функция, монотонно возрастающая от 0 до 1, имеет не более чем счетное количество точек разрыва. Это можно доказать, например, используя то обстоятельство, что наша функция имеет лишь конечное число скачков =» 1, конечное число скачков 1 /2, конечное число скачков э» '/3 и т.д. Следовательно, все скачки (а значит, и точки скачков) можно занумеровать в порядке н.х возрастания.
8*
116 Гл. V. Интегралы Фурье и предельные теоремы
имеет биномиальное распределение: она принимает целочисленные значения к (0 =? к =s п) с вероятностями
Wk = \l)^q^K
Согласно (5) §21, характеристическая функция отдельного слагаемого Xj равна
<р(<) = ре" + q. (1)
Следовательно, характеристическая функция суммы задается формулой
[ср(Щп = (ре“ + ?)"¦ (2)
Применяя к правой части (2) формулу бинома Ньютона, получим сумму, совпадающую с определением характеристической функции биномиального распределения
(ре'1 | q)n = 2 (”) Pkeik' qn~k ~ ? ^kt ¦
Б. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Если случайная величина х подчиняется нормальному распределению с единичной дисперсией и нулевым средним значением, т. е. если для х плотность вероятности задается формулой
/(«)=-^:Г*“,1 (3)
I
то соответствующая характеристическая функция равна
OP во
/А 1 Г~^“‘ 1 itU J 1 Г - V , . .
tp(() = - ^ е 2 du = =_- е 2 2 du. (4)
j 2.П J [' 2.П J
—во оо
Выбрав в качестве новой переменной интегрирования ш = и — it,
ПОЛУЧИМ
1 - -I* Г — - №>
<Р(0 ^ е 2 J е 2 dtr, (О)
где интегрирование производится в комплексной плоскости вдоль прямой, параллельной действительной оси. Если путь интегрирования перенести на действительную ось, то найдем, что
-1/*
q>(t) = е 2 . (G)
22. Примеры 117
Случайная величина <гх также нормальна с дисперсией <г2 и нулевым средним значением. Ее характеристическая функция равна
~ itox — оЧг
g е = <p(t а) = е 2 (7)
Таким образом, характеристическая функция нормально распределенной случайной величины с нулевым средним значением лишь постоянным множителем отличается от гауссовой функции ошибок с дисперсией, равной обратной величине дисперсии исходного нормального распределения.
Если к случайной величине х прибавить постоянную а, то характеристическая функция х 4 а будет равна произведению cp(t) и exp (ita). Следовательно, для характеристической функции нормально распределенной случайной величины со средним значением а и квадратичным отклонением <г справедлива формула
На — ^
q>(1) = е е * . (8)
Произведение двух функций этого вида опять будет функцией того же вида. Этим самым мы снова получили найденный ранее с1езультат, но со значительно меныним количеством выкладок:
Сумма двух независимых нормально распределенных случайных величин снова распределена нормально.
В. РАС !.’.: Т.’; ЛЕНИН ПУАССОНА
Если х принимает значения к = 0, 1,2, ... с вероятностями (§ Ю)
Рк ^ е~х’ (9)
то соответствующая характеристическая функция, согласно (5), равна