Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(23)
Ж. ОДНА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
+ Уп
(24)
128 Гл. V. Интегралы Фурье и предельные теоремы
при п-*оо стремится к F(u — с). Если с > 0, то с соответствующими очевидными изменениями это утверждение справедливо для произведения хпуп и отношения х„/уп.
Важно отметить, что в этой теореме не требуется независимости входящих в нее случайных величин.
Мы проведем доказательство для сумм (24). В случае произведений или отношений доказательство остается аналогичным.
Пусть и — точка непрерывности функции F(u — с). Тогда для каждого е >0 найдется такое 6 — д(е, и), что F(u — с — 6) и F(u — с -f 6) будут отличаться от F(u — с) менее чем на е. Так как, согласно сделанному ранее замечанию (см. сноску в § 21 Д), множество точек разрыва функции F не более чем счетно, то мы можем так выбрать <5, чтобы точки и— с + <5 и и— с — 6 являлись точками непрерывности функции F.
Пусть Gn(u) — вероятность события zn < и. Нам нужно доказать, что Gn(u) при п—>оо стремится к F(u — с).
Если хп< и — с — 6 и уп =s с -f 8, то zn < и. Отсюда следует, что если хп<и—с — д, то или zn< и или уп > с + 8. Следовательно.
Р(ж„ < и — с — 6) р(zn < и) р(уп > с + б)
или
Fn(u — с — д)*? Gn(u) + Р(уп > с 4- б). (25)
Так как уП стремится по вероятности к с, то вероятность события уп > с + 6 для достаточно больших п будет меньше е. Таким образом, из (25) получается, что
Fn(u — с — 6) < Gn(u) + с.
Поскольку Fn стремится к F, то для всех достаточно больших п справедливо неравенство
F(u — с — д) < Gn(u) -j- 2е
и, далее,
F(u — с) < Gn(u) -f Зе. (26)
Точно так же, поменяв ролями хп и zn, можно доказать, что
Gn(u) < Fn(u.~ с + 6) + е < F(u — с) Зе. (27)
Из (26) и (27) следует равенстг.о lim Gn(u) = F(u — с), чем и
завершается доказательство предельной теоремы.
§ 25. Прямоугольное распределение. Ошибки округления
129
§ 25. Прямоугольное распределение. Ошибки округления
Случайная величина х называется равномерно распределенной между а и Ъ, если ее плотность вероятности равна постоянной в интервале (а, Ъ) и равна нулю вне этого интервала:
! 1 j.
\ -г--, если а < х < о,
т= 6-“ (D
(0, если х < а или х > Ъ.
Так как график функции fix) изображается в виде прямоугольника (рис. 15), то такое распределение называют прямо-
Рис. 15. График плотности прямоугольного распределения.
угольным. Вопрос о том, определена ли fix) в конечных точках интервала а и Ъ и если определена, то как именно, не имеет никакого значения. Функция прямоугольного распределения задается равенствами:
/ 0 , если х =s а,
F(x) = \b^' если а<х^ь, (2) \ 1 , если Ъ < х.
Среднее значение х равно (а + Ъ)/2, дисперсия (Ъ—а)2/12. Для большей определенности мы предположим, что а = —У2 и Ъ = у2. В этом случае хх равномерно распределена между —у2 и -\-i/2 с нулевым средним значением и дисперсией Via-
Такое распределение встречается тогда, когда результаты числовых расчетов округляются до целых чисел. Если точные результаты вычислений зависят от случая и изменяются в широких границах с плотностью вероятности, которая в интервале длины единица не сильно отличается от постоянной, то ошибки округления будут распределены приблизительно равномерно между —У2 и +у2.
Характеристическая функция прямоугольного распределения равна
1
2
<p(t) = [ eilx dx = J- sin , (3)
_*i
2
9 Б, Л. вал дер Вардой - 10G2
130
Гл. V. Интегралы Фурье и предельные теоремы
Рассмотрим теперь распределение суммы независимых одинаково равномерно распределенных в интервале (—У2, %) случайных величин:
X = X,
х„
Среднее значение суммы равно нулю, квадратичное отклонени равно тг/12. Если х нормировать таким образом, чтобы квадра тичное отклонение нормированной величины равнялось единице а затем п устремить к бесконечности, то характеристическая функция нормированной случайной величины х^\2/п
(5)
будет очень быстро приближаться к гауссовой функции ехр(—f2/2). Таким образом, нужно ожидать, что функция распределения х очень быстро приближается к функции нормального распределения.
Это подтверждается расчетами. Если fn(x) — плотность вероятности суммы х, то справедливы рекуррентные формулы:
А (я)
. 1 1
1, если — 2- < х < 2- ,
л 1 1
О, если а; < — - или х > 2-
(6)
